Y(b)?1nn?i?1(Yi?b(e?rtST?S0))
i实验证明，当K=0时，控制变量与Y的相关性最强，从而方差减少效果显著，而当K很大时情况相反。
若待定价的是亚式期权，Ynjn?e?rnN(?j?1Sjn?K)?，N为一年
中交易的总天数，那么可将?S作为控制变量，由于
j?0nnnjE[?Sj]?j?0?E[Sj?0]??Sj?00erjN?S01?er(n?1)NrN1?e
相应的控制变量估计值为
Y(b)?(Y?mi?11min?b(?S?S0j?0ij1?er(n?1)NrN1?e))
（2）定价己解决的期权
如果两种期权的回报函数具有相似性，并且其中一种期权的定价公式已知，那么可将此期权作为控制变量为另一种期权定价。最著名的例子是Kemna和Vorst使用几何平均亚式期权作为控制变量为算术平均亚式期权定价，显然这两种期权的回报具有很强的相关性，从而方差减少效果显著。
再比如仍是对算术平均资产价亚式期权定价，由于与其具有相同到期日与敲定价格的标准欧式看涨期权的价格可以由B-S公式得到，故可将e
（3）正态随机变量
模拟标的资产价格路径要用到正态随机变量，因此可考
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?rnN(Sn?K)?作为控制变量。
虑将正态随机变量(或其线性组合)作为控制变量。
比如为算术平均执行价亚式期权定价
nY?e?2?rnN(Sn??j?1Snj)??，模拟{S}的过程需要独立的、均值为
j(r?2)N、方差为
2N的正态随机变量
X1,?,Xn，从而将
X1,?,Xn作为多元控制变量可得相应的控制变量估计值为
Y(b)?(Y?mi?11min??(Xj?0ij?r??N22))。
◆矩匹配(Moment Matching)技术
为了模拟标的资产样本路径需要从正态分布中抽样，考虑最简单的情形，标准欧式看涨股票期权的蒙特卡洛估计值需要m个独立且服从标准正态分布的抽样Z{Zj}1,Z2,?,Zm。由于
的样本矩不一定与总体矩匹配，故而矩匹配技术的思想
就是对这些样本进行调整，使其一阶矩、二阶矩乃至高阶矩与总体矩匹配，再利用调整后的样本得到蒙特卡洛估计值。
定义Z匹配Z?值为
j?Z是样本均值，通过如下调整可达到一阶矩?mjj?11m?Zj?Z,j?1,2,?,m，Z?j~N(0,1)，由Z?生成的股票价格终
j?jST，从而期权到期回报贴现的一次模拟值为
??exp(?rT)max0,S?j?KCjT?利用矩匹配技术得到的蒙特卡洛估计?，
?。 量为?Cmjj?11m和对偶变量技术一样，应用矩匹配技术会给置信区间的
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估计带来变化，因为Z?,Z?12?,?,Zm?,C?并不独立，导致C12?,?,Cm也不
独立，所以不能直接应用中心极限定理估计误差。
一个解决方案是将抽样分隔为不同批次，对每个批次分别应用矩匹配技术得到彼此独立的期权价格估计，再将批均值作为蒙特卡罗估计值，由批方差得到误差估计。例如可采用10000个相互独立的批次，每个批次对100个标准正态分布抽样应用矩匹配技术，即总共采用100万个标准正态分布抽样。
如果定义SZ?1m?1m?j?1(Zj?Z)2为样本标准，通过如下的调,j?1,2,?,m整可达到前两阶矩匹配：Z?j?jZj?ZSZ。
需注意由上式得到的Z?不再服从标准正态分布，故相应
?将是期权价格的有偏估计。这个偏差在极端情况下可能的Cj会很大，由此致的复杂性使得矩匹配技术的效率改进没有一个通用的量化标准。
如果待匹配的抽样Z其总体均值ujZ?0，总体方差?Z?1，
作如下变换可分别达到一阶矩匹配和前两阶矩匹配：
??Z?Z?u,j?1,2,?,m ZjjZ?Zj?(Zj?Z)?SZZZ,j?1,2,?,m
其中Z与S的定义同上。仍以标准欧式看涨股票期权为例，若股价服从风险中性的几何布朗运动，则股价终值的均值与方差已知，故可采用上式对S?运用矩匹配技术。
jT
◆分层抽样(Stratified Sampling)技术
分层抽样技术使样本的经验概率与理论概率相一致，其
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本质是为了使输入变量分布得更为均匀，这一点与对偶变量技术相同。
考虑简单情形下分层样本的获取。在计算标准欧式看涨期权的价格时，需要标准正态分布中m个相互独立的抽样
Z1,Z2,?,Zm，其经验分布不会完全与总体分布相吻合，尤
其是尾部表现可能较差。通过下述分层抽样方法可以对样本的经验分布加以改进。
U1,U2,?,Um是在[0，1]上均匀分布的随机数，以
1m的长度对
m区间进行分层，可以得到n个分层区间段[0,1],[1,2],?,[m?1,1]，
mmm令Vj?Uj?j?1m,j?1,2,?,mV落在第j层上，。显然，从而Z?jj??(Vj)?1落在标准正态分布的上
j?1m分位数与上j分位数之间，故由
mV1,V2,?,Vm可得标准正态分布的一个分层抽样。
需要注意的是V,V12,?,Vm的高度相关性使得标准误差的估
计复杂化，为此用批处理的方法对其进行估计，具体过程同上一节介绍。
在高维情形下，采用拉丁超立方抽样技术(Latin Hypercube Sampling)较为简便。
假设Uj(1)j(2)j(d)j?(U1,U,?,U),j?1,2,?,m是[0,1]上均匀分布随机
d向量序列，?列。令V(k)j,?2,?,?d是d个独立抽取的{1,2,?,m}上的随机排
,k?1,2,?,dj?1,2,?,m?U(k)j??k(j)?1m
j其中?k(j)是第k个排列的第j个元素。那么由U得到的
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Vj仍然是[0,1]上服匀分布的随机向量，并且V的第k个坐标
djVj(k)落入第k个[0，l]区间的m个不同分层内，从而V,V1122,?,Vm也是一种分层抽样样本。同样地，由于V,V而要改变误差估计的方法。
,?,Vm不独立，故
◆重要性抽样(Importance Sampling)技术
重要性抽样技术的思想是用一种概率测度下的期望值代替另一种概率测度下的期望值，这种概率测度的转换是通过似然比(Likelihood-Ratio)或Radon-Nikodym导数实现的。金融工程中的风险中性定价即为此思想的一个应用。在期权定价中，这种方法被用来对小概率事件进行模拟以获得更有效的估计。
首先介绍这种技术的一般化理论：假设X是概率密度为f的d维随机向量，h是Rd到R上的函数，待求值为
??E[h(X)]??h(x)f(x)dx
若X1,X2,?,Xm均为服从f的独立随机向量，那么?的蒙特
卡洛估计值是???1m?h(X)。
jj?1m令g是另一个Rd上的概率密度，并且满足条件
f(x)?0?g(x)?0,?x?Rd，则有
???h(x)f(x)g(x)g(x)dx
将上述积分写成关于密度g的期望形式，可以得到
??E[h(X)]?E[h(X)gf(X)g(X)]
若X
1,X2,?,Xm是服从g的独立随机向量，那么?基于测度
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