将以上的计算结果代入期望等式中，得到欧式看涨期权的价格公式为：
V(S,t)?e?r(T?t)E[max{0,ST?K}]?SN(d1)?Ke2Q?r(T?t)N(d2)
lnSK?(r?其中，
d1??)(T?t)2T?t?，d2?d1??T?t。
可以看出，对于欧式看涨期权的风险中性定价方法的结果与基于资产复制的偏微分方程定价方法的结果是一致的。基于风险中性的期权定价原理在于：任何资产在风险中性概率测度下，对于持有者来说都是风险偏好中性的，便可用风险中性概率求取期权的期望回报再将其进行无风险折现便是初始时刻的期权价值。蒙特卡洛模拟方法就是一种基于风险中性原理的期权数值定价方法。
§2. 蒙特卡洛模拟方法及其效率
假设所求量?是随机变量?的数学期望E[?]，那么近似确定?的蒙特卡洛方法是对?进行n次重复抽样，产生独立同分布的随机变量序列?1,?2,?,?n，并计算样本均值
?n?1nk??nk?1。那么根据Kolmogorov强大数定律有
p(lim?n??)?1。因此，当n充分大时，可用?n作为所求n??量?的估计值。
由中心极限定理可得到估计的误差。设随机变量?的方
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差D[?]??2??，对于标准正态分布的上?22分位数Z?2，有
p(?n???Z???n)?12??Z??Z?2exp(?2t22)dt?1??这表明，置信水平1??对应的渐近置信区间是
?n?Z?2??n。实际上，由此可确定蒙特卡洛方法的概率
2化误差边界，其误差为Z?
??n，误差收敛速度是O(n?12)。
不难看出，蒙特卡洛方法的误差是由?和
n决定的。
在对同一个?进行抽样的前提下，若想将精度提高一位数字，要么固定?，将n增大100倍；要么固定n将?减小10倍。若两个随机变量?1,?2的数学期望E[?1]?E[?2]??，
?1??2，那么无论从?1或?2中抽样均可得到?的蒙特卡洛估
计值。比较其误差，设获得?i的一个抽样所需的机时为ti，
?1?2Tn??那么在时间T内生成的抽样数i，则ti，若使nn12需使?1t1??2t2。因而，若要提高蒙特卡罗方法的效率，不能单纯考虑增加模拟的次数n或是减小方差?，应当在减小方差的同时兼顾抽取一个样本所耗费的机时，使方差?与机时t的乘积尽量的小。
2
2
§3. 蒙特卡洛模拟方法为期权定价的实现步骤
期权定价的蒙特卡洛方法的理论依据是风险中性定价原理：在风险中性测度下，期权价格能够表示为其到期回报的贴现的期望值，即P?E[exp(?rT)f(S1,S2,?,ST)]
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Q，其中
的E表示风险中性期望，r为无风险利率，T为期权的到期执行时刻，f(S1,S2,?,ST)是关于标的资产价格路径的预期收益。
由此可知，计算期权价格即就是计算一个期望值，蒙特卡洛方法便是用于估计期望值，因此可以得到期权定价的蒙特卡洛方法。一般地，期权定价的蒙特卡洛模拟方法包含以下几步（以欧式看涨期权为例）:
(l)在风险中性测度下模拟标的资产的价格路径 将时间区间[0,T]分成n个子区间0?t的资产价格过程的离散形式是
S(ti?1)?S(ti)ejj(r?120Q?t1?t2???tn?T，标
?2)(ti?1?ti)??ti?1?tizi，zi~N(0,1)
(2)计算在这条路径下期权的到期回报，并根据无风险利率求得回报的贴现
C?exp(?rT)max?0,ST?K?
jj(3)重复前两步，得到大量期权回报贴现值的抽样样本 (4)求样本均值，得到期权价格的蒙特卡洛模拟值
CMC?1mmmexp(?rT)?max?0,ST?K?jjj?1exp(?rT)?C?j?1m
另外，我们还可以得到蒙特卡洛模拟值与真值的概率化误差边界，这也是蒙特卡洛方法为期权定价的优势之一。 由于
Cmean?C?exp(?rT)max?0,ST?K?jj，m条路径的收益均值为
var?C，m条路径的方差为Cmji?11m??(Cm?1i?11mj2?Cmean)，则可
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得95%的置信区间为[C
mean?1.96Cvarm,C?1.96meanCvarm]。
例1：假设无红利的股票A，初始价格为￥6，价格过程服从几何布朗运动，年预期收益率为10%，收益率的波动率为每年25%，时间步长为0.01年（1年为100时间步），给定数据，S0?6,??0.1,??0.25，以及d＝100，用蒙特卡洛方
法模拟资产的价格路径如下：
SA(t??t)?S(t)e6.256.26.156.16.05(0.1?120.25)0.01?0.2520.01?i
Monte Carlo Price Path SimulationPrice65.955.95.855.85.7501020304050Period60708090100
（1）
Monte Carlo Price Path Simulation6.66.46.26Price5.85.65.45.201020304050Period60708090100
（2）
图（1）蒙特卡洛方法模拟股票A价格路径，图（2）蒙特卡洛方法模拟股票B价格路径。
若无红利的股票B、C、D，其价格均为￥6，股票B的期望收益率为0.1，波动率为0.6；股票C的期望收益率为0.5，波动率为0.25；股票D的期望收益率为0.5，波动率为0.6，分别用蒙特卡洛方法模拟该三种股票在一年内的价格路径如下：
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SB(t??t)?S(t)eSC(t??t)?S(t)e(0.1?120.6)0.01?0.620.01?i
(0.5?120.25)0.01?0.2520.01?iSD(t??t)?S(t)e6.1(0.5?120.6)0.01?0.620.01?iMonte Carlo Price Path Simulation6.056Price5.955.95.8501020304050Period60708090100
（3）
Monte Carlo Price Path Simulation76.86.66.4Price6.265.85.65.401020304050Period60708090100
（4）
图（3）蒙特卡洛方法模拟股票C价格路径，图（4）蒙特卡洛方法模拟股票D价格路径。
从图中可以看出，股票C和股票D的价格上升速度较快，而股票B和股票D的价格波动比较大。这是与股票C和股票D价格的期望收益率较高，股票B和股票D价格的波动率较高相对应的。
欧式看涨期权S0?6,K?2,r?0.1,??0.25,T?1，通过
Black-Scholes公式计算得的精确值为C?4.1903，蒙特卡洛模拟的价格为C?4.1787，其蒙特卡洛模拟图如下：
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