European Call Option Price Estimation5.4Monte Carlo5.254.8Estimation4.64.44.243.800.511.52log(N)2.533.54
（5）
上述同样的条件，路径由100逐渐增加到1000000条，对应地分别得到的期权价值的模拟值和置信区间，结果如下表所示：
各种路径下蒙特卡洛方法模拟的95%置信区间
N 100 500 1000 2000 5000 10000 50000 100000 1000000 模拟值 4.3146 4.2262 4.2213 4.1633 4.1695 4.1787 4.1960 4.1886 4.1914 置信区间 [4.0112,4.6180] [4.0962,4.3563] [4.1287,4.3139] [4.0984,4.2281] [4.1280,4.2111] [4.1490,4.2083] [4.1826,4.2094] [4.1791,4.1980] [4.1884,4.1944] §4. 蒙特卡洛模拟方法为我国权证定价
权证是一种合同，权证投资者在约定时间内有权按约定价格向发行人购入或者出售合同规定的标的证券。权证发行人可以是标的证券的发行人或其之外的第三方。权证主要具有价格发现和风险管理的功能，它是一种有效的风险管理和资源配置工具。
现选取我国认股权证中的五粮YGC1、马钢CWB1、伊利CWB1为例，以2006年的价格作为样本区间模拟认股权
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证的价值，并将这些权证的蒙特卡洛模拟价值和由wind数据库给出的理论值进行比较。本例采用一年期短期利率2.52%作为无风险利率，用这些权证的正股股票价格序列来计算波动率。
现实中用等时间间隔观测股票价格序列Si(i?0,1,2,?n)，股票投资的连续复利收益率ui的样本标准差???ln(Si/Si?1)2，（i?1,2,?n），则ui?n?1i?11n(ui?u)。如果用日数据计算波动率，
则年度波动率按下式计算：
年度波动率＝日波动率*（每年的交易日数）1/2 将时间区间取为2006年12月1日－2006年12月29日，则由蒙特卡洛方法模拟的认股权证价格与Black-Scholes模型的精确值和市场价格比较的结果如下：
蒙特卡洛方法对五粮YGC1认股权证的模拟（?日期 12-1 12-4 12-5 12-6 12-7 12-8 12-11 12-12 12-13 12-14 12-15 实际值 10.164 10.120 9.880 9.395 9.147 9.050 9.850 9.825 9.766 10.589 10.849 蒙特卡洛模拟值 10.066 10.357 10.630 10.386 9.998 9.785 9.225 10.600 10.260 11.332 12.028 理论值 9.821 10.121 10.401 10.151 9.751 9.531 8.951 10.371 10.021 11.121 11.831 日期 12-18 12-19 12-20 12-21 12-22 12-25 12-26 12-27 12-28 12-29 － 实际值 12.100 12.080 12.210 11.900 11.420 12.038 11.978 13.001 13.050 14.500 － ?51.15%）
理论值 13.351 13.401 13.601 13.201 12.501 13.571 13.231 14.201 14.451 16.051 － 蒙特卡洛模拟值 13.524 13.574 13.771 13.376 12.687 13.742 13.406 14.364 14.612 16.198 －
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蒙特卡洛方法对马钢CWB1认股权证的模拟（?日期 12-1 12-4 12-5 12-6 12-7 12-8 12-11 12-12 12-13 12-14 12-15 实际值 1.143 1.209 1.241 1.349 1.633 1.750 1.919 1.874 1.794 1.794 1.830 蒙特卡洛模拟值 1.244 1.188 1.223 1.223 1.416 1.618 1.416 1.618 1.748 1.633 1.633 理论值 0.569 0.517 0.549 0.549 0.743 0.952 0.743 0.952 1.094 0.969 0.969 日期 12-18 12-19 12-20 12-21 12-22 12-25 12-26 12-27 12-28 12-29 － 实际值 1.775 1.803 1.730 1.641 1.700 1.707 1.835 1.776 1.644 1.708 － ?53.91%）
理论值 1.052 1.052 1.103 1.052 0.778 0.848 1.052 1.052 1.163 1.094 － 蒙特卡洛模拟值 1.709 1.709 1.756 1.709 1.542 1.453 1.520 1.709 1.811 1.748 －
蒙特卡洛方法对伊利CWB1认股权证的模拟（?日期 12-1 12-4 12-5 12-6 12-7 12-8 12-11 12-12 12-13 12-14 12-15 实际值 13.324 13.250 13.296 12.911 12.853 12.734 12.920 14.059 13.528 14.281 14.349 蒙特卡洛模拟值 13.533 13.947 13.957 13.957 13.288 12.763 12.576 12.941 14.108 13.815 14.619 理论值 12.629 13.069 13.079 13.079 12.369 11.809 11.609 11.999 13.239 12.929 13.778 日期 12-18 12-19 12-20 12-21 12-22 12-25 12-26 12-27 12-28 12-29 － 实际值 14.760 15.479 15.487 15.594 15.168 16.616 16.619 17.673 17.673 17.673 － ?62.03%）
理论值 13.988 14.748 15.888 15.698 15.828 15.038 17.058 17.188 19.098 19.098 － 蒙特卡洛模拟值 14.818 15.541 16.630 16.449 16.573 15.817 17.754 17.879 19.726 19.726 －
从表可看出，由蒙特卡洛方法模拟的认购权证价格的模拟值比由Black-Scholes公式计算的理论值更接近实际值。为了更直观的比较，由蒙特卡洛方法模拟的认股权证价格与Black-Scholes模型的精确值和市场价格比较的结果如下图。其中SJ代表实际值，MC代表蒙特卡洛方法求得的模拟值，
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BS代表由Black-Scholes公式计算出的理论值。
17161514131211109814SJMCBS710131619
五粮YGC1价格模拟比较图
2.521.510.5014710131619SJMCBS
马钢CWB1价格模拟比较图
21201918171615141312111014SJMCBS710131619
伊利CWB1价格模拟比较图
从图中明显看出，五粮YGC1和伊利CWB1的模拟结果比较好，蒙特卡洛模拟值和Black-Scholes模型的理论值均与实际值吻合；而马钢CWB1的实证结果不理想，但是三种结果的走势图有共同的趋势。从比较分析中发现蒙特卡洛方法模拟的价格比Black-Scholes模型更接近实际价格。对于这些认股权证价格的模拟结果的好坏，受诸多因素影响，主要与选取的波动率和中国权证市场的发展特点有关等等。
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◆隐含波动率及其数值计算方法
隐含波动率是一个在市场上无法观察到的波动率，是通过Black-Scholes期权定价公式计算出来的波动率。由于我们无法给出它的解析解，因此，只能借助于数值计算给出近似解。下面介绍牛顿迭代法计算隐含波动率。
牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域上近似求解方程根的方法。
步骤1. 将函数f(x)在点x0附近展开成泰勒级数
f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?f??(x0)2!(x?x0)??2
步骤2. 取泰勒级数的前两项作为f(x)?假设f?(x0f(x0)?f?(x0)(x?x0)
)?0，求解方程f(x)?f(x0)f?(x0)f(x0)?f?(x0)(x?x0)?0，并令其解为
x1，得x1?x0?，这样得到迭代公式xn?1?xn?f(xn)f?(xn)，经
过n次迭代后，可以求出f(x)?0的近似解。
根据牛顿迭代法，隐含波动率的计算步骤如下： 1. 假设其他变量保持不变，认为函数
f(?)?SN(d1)?Ke?r(T?t)N(d2)?CMar是隐含波动率?的一元函
12?数，其中的CMar是市场上观察到的期权价格。
2. 求函数f(?)的导数f?(?)??C???ST?e?d122
i3. 由迭代公式?i?1??i?（?是期望达到的精度）。
f(?i)f?(?i)计算波动率，直至f(?)??
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