此外，为了计算隐含波动率，经济学家和理财专家曾做过种种努力试图寻找一个计算波动率的公式。如Brenner和Subrahmanyam于1988年，Chance于1993年分别提出计算隐含波动率的公式，虽然这些公式对于持有平价期权的波动率的计算还算准确，但是基础资产的价格一旦偏离期权的执行价格的现值，其准确性就会丧失。1996年，Corrado和Miller在前人研究的基础上建立了如下公式，大大提高了隐含波动率的计算的准确性：
??1T?2?S?Ke?rT?rT?rT?rT2?(C?S?Ke2?(C?S?Ke2)?2(S?Ke)?)
§5. 服从跳扩散过程的无形资产期权定价问题及其蒙特卡洛模拟分析
◆服从跳扩散过程的期权定价方法
正常的波动用几何布朗运动(Brown)来描述—由供需不平衡、利率变动或整个经济的波动等因素引起的。不正常的波动用泊松过程(Poisson)来描述—由未预料到的重要信息的出现引起的。这些信息在不连续的时间点出现，而且出现的时间点不确定，是否会出现也不确定。
带跳跃项的伊藤Ito公式：设V?V(S,t)，V是二元可微函
数，若随机过程St服从随机微分方程
dSS?adt??dW?dJ其中，dW是标准维纳过程，dJ
16
表示不可预测的跳跃，且
E[?J]?0。则带跳跃项的伊藤
dV(S,t)?[?V?tkIto公式为
12??t?(V(S?ai,t)?V(S,t))pi?i?1k??2?V?S22]dt??V?SdS?dJVdJV?[V(S,t)?V(S,t)]??t[?(V(S?ai,t)?V(S,t))pi]dti?1
其中，
St?lim?Sss?t?。
(j?1,2,?)上式是对跳跃项作如下假定得出的： 1、在两个跳跃之间J保持不变，而在跳跃时间?tj是离散和随机的；
2、有k种跳跃类型，跳跃尺度为{a,i?1,2,?,k}，跳跃尺度
i为a的概率为p，跳跃的发生强度?依赖于S的最终观测值，
iitt跳跃类型和尺度都是独立随机的。 则在时间区间(t,t??t]内，增量?J为
k
这里N表示的是至时间t发生的跳跃大小的总和，??t表示跳
i?1tt?Jt??Nt?[?t?t(?aipi)]k跃发生的概率，
?ai?1ipi为跳跃的期望值，则?J是不可预测的。
k漂移参数a可看作两个漂移的和
这里?表示S中连续运动的维纳过程部分，第二项为纯跳跃
i?1ttat??t??t(?aipi)部分。
将Poisson过程引入到期权定价模型中，得到标的资产价格价格的跳扩散方程如下
dSS?(????)dt??dW?(Y?1)dN
17
其中，
?1dN???0?dt1??dt，标的资产价格的变化比率为Y，
??E(Y?1)，且Y与dN相互独立。
1?F2?S22令FdF??F?t?lnS，根据带跳跃项的伊藤公式可得其微分形式为
((????)Sdt??SdW)?(?SdW)?(F(YS,t)?F(S,t))dN2dt?12?F?S2?(??????)dt??dW?lnYdN
????)t??W(t)??Yi?i?1N(t)整理上式，得到标的资产价格公式为
在标的资产价格遵循跳扩散过程的假设下，根据上述带跳伊藤公式可得期权价值VdV?(?V?t?(????)S?V?S?12?V(S,t)的微分形式如下
21?St?S0exp?(???2?2?S22?V?S2)dt??S?V?SdW?(V(YS,t)?V(S,t))dN??V?S构造期权与标的资产的无套利资产组合???V形式为
d???dV??V?SdS?(?V?t?12
S，其微分
?S22?V?S22)dt?(V(YS,t)?V(S,t))dN?(Y?1)S?V?SdN
则该无套利资产组合微分形式的期望如下式
E(d??)?(?[?V?t?V?t??1212?S?S222?V?S222)dt?E[(V(YS,t)?V(S,t))dN]?E[(Y?1)S??E[V(YS,t)?V(S,t)]???S?V?S]dt?V?SdN]2?V?S?2由于资产组合???V立
?V?S
S为无风险组合，因此有如下等式成
两式联立并化简得到标的资产价格遵从跳扩散过程的定价
?SE(d??)?r??dt?r(V??VS)dt公式如下：
18
?V?t
若没有发生跳跃事件，则??0，将其代入上式所得结果
?S2?S2?(r???)S?V?1?S22?V2?rV??E[V(YS,t)?V(S,t)]?0与Black-Scholes微分方程完全一致。当期权分别为欧式看涨、欧式看跌、美式看涨和美式看跌期权时，其边界条件和终值条件与本章第一节的终边值条件相同。
Merton
i?0?1Yi??假设标的资产价格跳跃高度服从?0????????i?0，
从而推导出欧式看涨期权的定价公式为：
??V(S,?)??N(t)?02e???(??)N(t)!N(t)N(t)[EN(t)(W(S?Yiei?1?r?????,?,K,?,r))]2
其中，
W(S,?,K,?,r)?S?(d1)?Ke?(d2)，??T?t。
另外，Harworth假设跳跃高度Y服从对数正态分布
lnY~N(?Y,?Y)2，则欧式看涨期权的解析解为
??V(S,?)????exp(???Y12?N(t)?0e?????)N(t)(??N(t)!?,r?)W(S,?,K,?122
N(t)其中，
?????1?Y)2，
??r??(exp(?Y?r?Y)?1)?2?(?Y?12?Y)2，
??YN(t)2。
例2. 标的资产价格遵从跳扩散过程如下
dSS?(????)dt??dW?(Y?1)dN1.5
S(0)?20,??2.5%,??20%,??0.5t,v?Y?1,n?500,?t?0.004,Y?0.8
用蒙特卡洛模拟的资产价格路径如下图所示：
19
◆无形资产——专利池的期权定价模问题
专利池的市场价值V依赖于企业使用专利池技术前后生产产品所获得的收益S和成本C及时间t，这三个变量均可用跳扩散模型：
dXX?(????)dt??dW?(Y?1)dN
通过构造由V和它所依赖的两个变量S、C组成的资产组合，利用带跳的伊藤引理获得V与S、C所遵循的带跳的随机微分方程，并根据实际情况在一些假设条件下给出该方程的终边值条件，最终获得V的求解公式。
构造无风险资产组合?VS?V?VSS?VCCV
一方面?的微分的期望为：E(d?另一方面，
E(d?S)?(Vt?1222?SSVSS?)?r(V?VSS?VCC)dt1222?CCVCC??S?CSCVSC)dt
??SE(V(YSS,C,t)?V(S,C,t))dt??SvSVS?Sdt新产品发明专利池的市场价值V所遵循的方程为
20