第六课时 相关性与最小乘估计
——热点考点题型探析
一、复习目标：1、会作两个有关联变量的数据的散点图，并利用散点图认识变量间的相关关系。2、了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程（线性回归方程系数公式不要求记忆）。
二、重难点及学法指导：1、相关关系的理解：（1）相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系，而函数关系则是两个非随机变量之间的关系，虽然两者均是指两个变量之间的关系，但不能把相关关系等同于函数关系。（2）函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系。2．两个变量的线性相关：（1）对已知双曲线方程，则渐近线方程确定。具有相关关系的两个变量进行统计的方法叫回归分析。回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性。（2）将n个数据点(xi,yi)(i?1,2,......n)描在平面直角坐标系中，以表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图。散点图形像地反映了各数据的密切程度。3、两个变量的相关关系分析：可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，然后利用最小二乘法求出回归直线方程。 三、教学方法：讲练结合，探析归纳。 四、教学过程 （一）、热点考点题型探析
考点1：两个变量间的相关关系
题型：两个变量间的相关关系的判断
【例1】有下列关系：①人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系.其中，具有相关关系的是 。 答案 ①③④
【反思归纳】相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系，而函数关系则是两个非随机变量之间的关系，虽然两者均是指两个变量之间的关系，但不能把相关关系等同于函数关系。函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系。 考点2：散点图及其应用
题型：绘制散点图和由散点图判断两个变量间的线性相关关系
【例2】以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：
房屋面积x（m) 销售价格y(万元） 2115 24.8 110 21.6 80 18.4 135 29.2 105 22 （1）画出数据对应的散点图；
（2）求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线。 解：（1）数据对应的散点图如图所示：
（2）x=109,y=23.2,?x=60 975, ?xy=12 952,
2i?1i55i?1iib=
?i?15i?15xiyi?5xy≈0.196 2 a=y-bx≈1.814 2
xi2?5x2?
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∴所求回归直线方程为y?0.1962x?1.8142。
【反思归纳】在考虑两个变量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，此图称为变量之间的散点图。利用散点图的分布特点，可判断两个变量之间是否具有相关关系。若点分布在某条直线周围，则两个变量是线性相关的；若点在某曲线（非直线）附近波动，则此相关是非线性相关的；若所有点在散点图中没有显示任何关系，则变量之间是不相关的。 考点3：线性回归方程 题型：求线性回归方程
【例3】某公司利润y与销售总额x(单位：千万元）之间有如下对应数据： x y 10 1 15 1.3 17 1.8 20 2 25 2.6 28 2.7 32 3.3 ?（1）画出散点图；（2）求线性回归线方程；（3）估计销售总额为24千万元时的利润。 解 （1）散点图如图所示：
（2)x=(10+15+17+20+25+28+32)=21, y=(1+1.3+1.8+2+2.6+2.7+3.3)=2.1,
?x=10+15+17+20+25+28+32=3 447,
2i?1i717172222222
?xy=10×1+15×1.3+17×1.8+20×2+25×2.6+28×2.7+32×3.3=346.3,
i?1ii7b=
?i?17i?17xiyi?7xy=
xi2?7x2346.3?7?21?2.13447?7?212≈0.104, a=y-bx=2.1-0.104×21=-0.084,
??∴y?0.104x?0.084
(3)把x=24(千万元）代入方程得，y?2.412（千万元）。∴估计销售总额为24千万元时，利润为2.412千万元。 【反思归纳】求回归直线方程，关键在于正确求出系数a,b,由于计算量大，所以计算时要仔细谨慎，分层进行，避免因计算产生失误，特别注意，只有在散点图大体呈线性时，求出的回归直线方程才有意义。利用回归方程可以估计总体，回归直线方程将部分观测值所反映的规律进行延伸，是我们对有线性相关关系的两个变量进行分析和控制，依据自变量的取值估计和预报因变量值的基础和依据，有广泛的应用。 （二）、强化巩固训练
1、期中考试结束后，记录了5名同学的数学和物理成绩，如下表：
? 22
学生 学科 数学 物理 A 80 70 B 75 66 C 70 68 D 65 64 E 60 62 （1）数学成绩和物理成绩具有相关关系吗？ （2）请你画出两科成绩的散点图，结合散点图，认识（1）的结论的特点。 解 （1）数学成绩和物理成绩具有相关关系。
（2）以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，可得相应的散点图如下：
由散点图可以看出，物理成绩和数学成绩对应的点不分散，大致分布在一条直线附近。 2、某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：百万元）之间有如下对应数据:
x y 2 30 4 40 5 60 6 50 8 70 （1）画出散点图； （2）求线性回归方程；（3）试预测广告费支出为10百万元时，销售额多大？
解 （1）根据表中所列数据可得散点图如下：
（2）列出下表，并用科学计算器进行有关计算： i xi yi xiyi 因此，x=
1 2 30 60 522 4 40 160 523 5 60 300 54 6 50 300 5 8 70 560 25250=5,y= =50, ?x=145, ?y=13 500, ?xy=1 380。 55i?1ii?1ii?1ii于是可得：b=
?xy?5x?yi?1ii5?x?5x2i?1i5=
21380?5?5?50=6.5; a=y-bx=50-6.5×5=17.5
145?5?5?5 23
因此，所求回归直线方程为：y?6.5x?17.5。
（3）根据上面求得的回归直线方程，当广告费支出为10百万元时，y=6.5×10+17.5=82.5(百万元)，即这种产品的销售收入大约为82.5百万元。 （三）、小结反思：1、相关关系的理解：（1）相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系，而函数关系则是两个非随机变量之间的关系，虽然两者均是指两个变量之间的关系，但不能把相关关系等同于函数关系。（2）函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系。2、两个变量的线性相关：（1）对已知双曲线方程，则渐近线方程确定。具有相关关系的两个变量进行统计的方法叫回归分析。回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性。（2）将n个数据点(xi,yi)(i?1,2,......n)描在平面直角坐标系中，以表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图。散点图形像地反映了各数据的密切程度。3、两个变量的相关关系分析：可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，然后利用最小二乘法求出回归直线方程。 （四）、作业布置：限时训练22中12、14
课外练习：限时训练22中2、3、4、7、8、10、11、13
五、教学反思：
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??第七课时 用样本估计总体及线性相关关系
——热点考点题型及解法探析
一、复习目标 1、通过本课，强化有关概念及方法的理解、掌握和应用。2、探析热点考点题型及解法，训练学生灵活、综合运用能力及分析解决问题的能力。 二、重难点：概念及方法的理解运用。 三、教法：讲练结合，探析归纳。 四、教学过程
（一）热点考点题型及解法探析 题型1：数字特征
例1．为估计一次性木质筷子的用量，1999年从某县共600家高、中、低档饭店抽取10家作样本，这些饭店每天消耗的一次性筷子盒数分别为：
0.6 3.7 2.2 1.5 2.8 1.7 1.2 2.1 3.2 1.0
(1)通过对样本的计算，估计该县1999年消耗了多少盒一次性筷子（每年按350个营业日计算）； (2)2001年又对该县一次性木质筷子的用量以同样的方式作了抽样调查，调查的结果是10个样本饭店，每个饭店平均每天使用一次性筷子2.42盒．求该县2000年、2001年这两年一次性木质筷子用量平均每年增长的百分率（2001年该县饭店数、全年营业天数均与1999年相同）；
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(3)在(2)的条件下，若生产一套学生桌椅需木材0.07m，求该县2001年使用一次性筷子的木材可以生产多少套学生桌椅。计算中需用的有关数据为：每盒筷子100双，每双筷子的质量为5g，
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所用木材的密度为0.5×10kg/m；
(4)假如让你统计你所在省一年使用一次性筷子所消耗的木材量，如何利用统计知识去做，简要地用文字表述出来。 解析：(1)x?1(0.6?3.7?2.2?1.5?2.8?1.7?1.2?2.1?3.2?1.0)?2.0 10所以,该县1999年消耗一次性筷子为2×600×350=420000（盒）。
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(2)设平均每年增长的百分率为X，则2（1+X）=2.42, 解得X1=0.1=10%，X2=－2.1（不合题意，舍去）。所以,平均每年增长的百分率为10%。 (3)可以生产学生桌椅套数为
0.005?2.42?100?600?350?7260（套）。
0.5?103?0.07(4)先抽取若干个县（或市、州）作样本，再分别从这些县（或市、州）中抽取若干家饭店作样本，统计一次性筷子的用量．
点评：本题是一道统计综合题，涉及的知识点很多，需要灵活运用各种知识分析解决问题．对于第(1)小题，可先求得样本平均数，再利用样本估计总体的思想来求得问题的解．对于第(2)小题，实际是一个增长率问题的应用题，可通过设未知数列方程的方法来解．对于第(3)小题，用到了物理公式m＝ρv， 体现了各学科知识之间的联系，让学生触类旁通，在解决实际问题时能综合运用多种知识灵活地解决问题．第(4)小题只要能够运用随机抽样方法，能体会到用样本估计总体的统计思想就可解决，在文字表述上要注意简洁、明了、正确。 题型2：数字特征的应用 例2．（2008年全国高考天津文科卷(15)）甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积
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产量如下（单位：t / hm） 品第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 种 甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8 其中产量比较稳定的小麦品种是 甲 。 1 1 解析：xˉˉ甲 = 5( 9.8 + 9.9 + 10.1 + 10 + 10.2) = 10.0，x乙 = 5( 9.4 + 10.3 + 10.8 + 9.7
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