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考点6 导数、定积分
1.（2010 ·海南高考理科·T3）曲线y?x在点??1,?1?处的切线方程为（ ） x?2（A）y?2x?1 （B）y?2x?1 （C）y??2x?3 （D）y??2x?2 【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解. 【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程. 【规范解答】选A.因为 y??2，所以，在点??1,?1?处的切线斜率k?y?(x?2)2x??1?2?2，
(?1?2)2所以，切线方程为y?1?2(x?1)，即y?2x?1，故选A.
2.（2010·山东高考文科·Ｔ8）已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为y??13x?81x?234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（ ） 3(A) 13万件 (B) 11万件 (C) 9万件 (D) 7万件
【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析问题解决问题的能力和运算求解能力.
【思路点拨】利用导数求函数的最值.
【规范解答】选C.y'??x2?81,令y??0得x?9或x??9（舍去），当x?9时y'?0；当x?9时y'?0， 故当x?9时函数有极大值，也是最大值，故选C.
3.（2010·山东高考理科·Ｔ7）由曲线y=x,y=x围成的封闭图形面积为（ ） （A）
231 12 (B)
1 4 (C)
1 3 (D)
7 12【命题立意】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积,考查了考生的想象能力、推理论证能力和运算求解能力.
【思路点拨】先求出曲线y=x,y=x的交点坐标，再利用定积分求面积.
【规范解答】选A.由题意得: 曲线y=x,y=x的交点坐标为(0,0)，(1,1)，故所求封闭图形的面积为
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11123?1-?1=,故选A. ?1（x-x)dx=034124.（2010·辽宁高考理科·Ｔ10）已知点P在曲线y=的取值范围是（ ） (A)[0,
4上，?为曲线在点P处的切线的倾斜角，则?xe?1??3???3?] (D) [,?) ) (B)[,) (C)(,424424【命题立意】本题考查了导数的几何意义，考查了基本等式，函数的值域，直线的倾斜角与斜率. 【思路点拨】先求导数的值域，即tan?的范围，再根据正切函数的性质求?的范围. 【规范解答】选D.
5.（2010·湖南高考理科·Ｔ4）
?421dx等于（ ） x
(A)?2ln2 (B)2ln2 (C)?ln2 (D)ln2 【命题立意】考查积分的概念和基本运算.
1的原函数. x41dx4?2x【规范解答】选D .=(lnx+c) =(ln4+c)-(ln2+c)=ln2.
2【思路点拨】记住
【方法技巧】关键是记住被积函数的原函数.
6.（2010·江苏高考·Ｔ8）函数y=x(x>0)的图像在点(ak,ak)处的切线与x轴的交点的横坐标 为ak+1,其中k?N，若a1=16，则a1+a3+a5的值是___________.
【命题立意】本题考查导数的几何意义、函数的切线方程以及数列的通项等内容.
【思路点拨】先由导数的几何意义求得函数y=x(x>0)的图像在点(ak,ak)处的切线的斜率，然后求得切线方程，再由y?0，即可求得切线与x轴交点的横坐标. 【规范解答】由y=x(x>0)得，y??2x，
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所以函数y=x(x>0)在点(ak,ak)处的切线方程为：y?ak2?2ak(x?ak),
2
2当y?0时，解得x?所以ak?1?ak， 2ak,a1?a3?a5?16?4?1?21. 2【答案】21
7.（2010·江苏高考·Ｔ１4）将边长为1m正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是
2(梯形的周长）梯形，记S?,则S的最小值是____ ____.
梯形的面积【命题立意】 本题考查函数中的建模在实际问题中的应用，以及等价转化思想.
【思路点拨】可设剪成的小正三角形的边长为x，然后用x分别表示梯形的周长和面积，从而将S用x表示出来，利用函数的观点解决.
【规范解答】设剪成的小正三角形的边长为x， 则：S?(3?x)24(3?x)2??(0?x?1) 21331?x?(x?1)??(1?x)22方法一：利用导数的方法求最小值.
4(3?x)24(2x?6)?(1?x2)?(3?x)2?(?2x)，S?(x)? S(x)???222(1?x)31?x3
1S?(x)?0,0?x?1,x?，
311当x?(0,]时，S?(x)?0,递减；当x?[,1)时，S?(x)?0,递增；
33故当x?1323时，S取最小值是. 33方法二：利用函数的方法求最小值
4t241111?2??令3?x?t,t?(2,3),?(,)，则：S?
86t323?t?6t?83???1t2t故当?1t31323,x?时，S取最小值是. 833 - 3 -
圆学子梦想 铸金字品牌 【答案】323 3【方法技巧】函数的最值是函数最重要的性质之一，高考不但在填空题中考查，还会在应用题、函数导数的综合解答题中考查.高中阶段，常见的求函数的最值的常用方法有：换元法、有界性法、数形结合法、导数法和基本不等式法.
8.（2010·陕西高考理科·Ｔ１3）从如图所示的长方形区域内任取一个点M（x,y）,则点M取自阴影部分的概率为 .
【命题立意】本题考查积分、几何概型概率的简单运算，属送分题. 【思路点拨】由积分求出阴影部分的面积即可求解. 【规范解答】阴影部分的面积为S阴影??3xdx?x012310?1.所以点M取自阴影部分的概率为
S阴影11P???.
S长方形3?13【答案】
13
9．（2010 ·海南高考理科·T13）设y=f(x)为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f(x) ≤1,可以用随机模拟方法近似计算积分
?10f(x)dx,先产生两组（每组N个）区间[0,1]上的均匀随机数x1,x2?,xN和
y1,y2?,yN,由此得到N个点(xi,yi)（i=1,2,?,N）,再数出其中满足yi?f?xi?（i=1,2,?,N）的点数N1，那么由随机模拟方法可得积分?f(x)dx的近似值为 .
01【命题立意】本题主要考查了定积分的几何意义以及几何概型的计算公式. 【思路点拨】由随机模拟想到几何概型，然后结合定积分的几何意义进行求解.
【规范解答】由题意可知，x,y所有取值构成的区域是一个边长为1的正方形，而满足yi≤f(xi)的点
(xi,yi)落在y=f(x)、y?0以及x?1、x?0围成的区域内，由几何概型的计算公式可知?f(x)dx的近
01似值为
N1. N- 4 -
圆学子梦想 铸金字品牌 【答案】
N1N
k2x (k≥0). 2，
10.（2010·北京高考理科·Ｔ１8）已知函数f(x)=ln(1+x)-x+
(1)当k=2时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)求f(x)的单调区间.
【命题立意】本题考查了导数的应用，考查利用导数求切线方程及单调区间.解决本题时一个易错点是忽视定义域.
【思路点拨】（1）求出f'(1)，再代入点斜式方程即可得到切线方程；（2）由k讨论f'(x)的正负，从而确定单调区间.
【规范解答】（1）当k?2时，f(x)?ln(1?x)?x?x2，f'(x)? 由于f(1)?ln2，f'(1)?1?1?2x 1?x3， 2 所以曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为
y?ln2?3 (x?1),2 即 3x?2y?2ln2?3?0. （2）f'(x)?1x(kx?k?1)?1?kx?，x?(?1,??). 1?x1?xx当k?0时，f'(x)??.
1?x所以，在区间(?1,0)上，f'(x)?0；在区间(0,??)上，f'(x)?0. 故f(x)的单调递增区间是(?1,0)，单调递减区间是(0,??).
1?k)1?kk?0， 当0?k?1时，由f'(x)??0，得x1?0，x2?k1?x1?k1?k)上，f'(x)?0， ,??)上，f'(x)?0；在区间(0,所以，在区间(?1,0)和(kk1?k1?k). ,??)，单调递减区间是(0,故f(x)的单调递增区间是(?1,0)和(kkkx(x?x2当k?1时，f'(x)?
1?x故f(x)的单调递增区间是(?1,??).
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