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g(x)?ax2?x?1?a,x?(0,??),
（1） 当a?0时，g(x)??x?1,x??0,???,所以
当x??0,1?时，g?x?>0，此时f??x??0，函数f?x?单调递减； 当x??1,???时，g?x?<0，此时f??x??0，函数f?x?单调递增. （2） 当a?0时，由f??x??0，
2即 ax?x?1?a?0，解得x1?1,x2?1?1. a1时， x1?x2 ， g?x??0恒成立，此时f??x??0，函数f?x?在（0，+∞）上单调递减; 211② 当0?a?时， ?1?1?0，
a2① 当a?x??0,1?时，g?x??0,此时f??x??0,函数f?x?单调递减，
?1?x??1,?1?时，g?x?<0,此时f??x??0,函数f?x?单调递增，
?a??1?x???1,???时，g?x??0，此时f??x??0，函数f?x?单调递减，
?a?③ 当a?0时，由于
1?1?0, ax??0,1?时，g?x??0,此时f??x??0,函数f?x?单调递减， x??1,???时，g?x?<0,此时f??x??0,函数f?x?单调递增.
综上所述：
当a?0时，函数f?x?在?0,1?上单调递减;函数f?x?在?1,???上单调递增， 当a?1时,函数f?x?在?0,???上单调递减， 21?1?时，函数f?x?在?0,1?上单调递减；函数f?x? 在?1,?1?上单调递增； 2?a?当0?a? 函数f?x?在??1??1,???上单调递减. ?a?【方法技巧】1、分类讨论的原因
(1)某些概念、性质、法则、公式分类定义或分类给出；
(2)数的运算：如除法运算中除式不为零，在实数集内偶次方根的被开方数为非负数，对
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数中真数与底数的要求，不等式两边同乘以一个正数还是负数等；
(3)含参数的函数、方程、不等式等问题，由参数值的不同而导致结果发生改变； (4)在研究几何问题时，由于图形的变化(图形位置不确定或形状不确定)，引起问题的结果有多种可能. 2、分类讨论的原则 (1)要有明确的分类标准；
(2)对讨论对象分类时要不重复、不遗漏； (3)当讨论的对象不止一种时，应分层次进行. 3、分类讨论的一般步骤
(1)明确讨论对象，确定对象的范围；
(2)确定统一的分类标准，进行合理分类，做到不重不漏； (3)逐段逐类讨论，获得阶段性结果； (4)归纳总结，得出结论.
16. （2010·陕西高考文科·Ｔ2１）已知函数f(x)?x,g(x)?alnx,a?R.
（1）若曲线y?f(x)与曲线y?g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程； （2）设函数h(x)?f(x)?g(x),当h(x)存在最小值时，求其最小值?(a)的解析式； （3）对（2）中的?(a)，证明：当a?(0,??)时，?(a)?1.
【命题立意】本题将导数、不等式知识有机地结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值问题，考查了分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力.
【思路点拨】曲线y?f(x)与y?g(x)在交点处有相同的切线?交点坐标?a的值及该切线的方程；
?h(x)?利用导数法求h(x)的最小值?(a)的解析式?利用单调性证明（3）.
【规范解答】（1）f?(x)?12x,g?(x)?a(x?0), x?x?alnx,1?由已知得：解得a?e,x?e2. ?1a2?.?x?2x，切线的斜率为k?f?(e2)??两条曲线交点的坐标为（e2,e）
1, 2e - 12 -
圆学子梦想 铸金字品牌 所以切线的方程为y?e?（2）由已知条件知h(x)?1(x?e2),即x?2ey?e2?0. 2ex?alnx,(x?0).
?h?(x)?12x?a?xx?2a, 2x①当a>0时，令h?(x)?0,解得所以当0 <
x=4a2,
x< 4a2时，h?(x)?0，h(x)在（0，4a2）上递减；
当x>4a2时，h?(x)?0，h(x)在(4a2,??)上递增.
所以x=4a是h(x)在（0， +∞ ）上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点.
2?最小值?(a)?h(4a2)?2a?aln(4a2)?2a(1?ln(2a)).
②当a ≤ 0时，h?(x)?x?2a?0,h(x)在（0，+∞）递增，无最小值. 2x
故
（3）由（2）知??(a)??2ln2a（,a?0）. 由??(a)??2ln(2a)?0,得0?a?由??(a)??2ln(2a)?0,得a?1; 21; 212所以?(a)在(0,)上是增函数，在(,??)上是减函数,
1212111又?()?2?(1?ln(2?))?1.
222所以?(a)的最大值为?(), 所以当a?(0,??)时，?(a)?1.
17.（2010·陕西高考理科·Ｔ2１）已知函数f(x)?x,g(x)?alnx,a?R.
（1）若曲线y?f(x)与曲线y?g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程； （2）设函数h(x)?f(x)?g(x),当h(x)存在最小值时，求其最小值?(a)的解析式； （3）对（2）中的?(a)和任意的a?0,b?0，证明：
??(
a?b??(a)???(b)2ab)????(). 22a?b- 13 -
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【命题立意】本题将导数、不等式知识有机地结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值问题，考查了分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力.
【思路点拨】曲线y?f(x)与y?g(x)在交点处有相同的切线?交点坐标?a的值及该切线的方程；由h(x)?利用导数法求h(x)的最小值?(a)的解析式?利用基本不等式证明（3）. 【规范解答】（1）f?(x)?12x,g?(x)?a(x?0), x?x?alnx,1?2由已知得：?1a解得a?e,x?e.
2?.?x?2x，切线的斜率为k?f?(e2)??两条曲线交点的坐标为（e2,e）所以切线的方程为y?e?（2）由已知条件知h(x)?1, 2e1(x?e2),即x?2ey?e2?0. 2ex?alnx,(x?0).
?h?(x)?12x?a?xx?2a, 2x①当a>0时，令h?(x)?0,解得所以当0 <
2x=4a2,
x< 4a2时，h?(x)?0，h(x)在（0，4a2）上递减；
2当x>4a时，h?(x)?0，h(x)在(4a,??)上递增.
所以x=4a是h(x)在（0， +∞ ）上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点.
2?最小值?(a)?h(4a2)?2a?aln(4a2)?2a(1?ln(2a)).
②当a≤0时，h?(x)?x?2a?0,h(x)在（0，+∞）递增，无最小值. 2x
故
（3）由（2）知??(a)??2ln2a（,a?0）.
对任意的a?0,b?0,
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???(a?b)??2ln(a?b)??2ln(2ab)??ln(4ab),2??(a)???(b)?2ln(2a)?2ln(2b) ???ln(4ab),222ab4ab4ab??()??2ln()??2ln()??ln(4ab),a?ba?b2aba?b??(a)???(b)2ab综上可得：??()????().
22a?b【方法技巧】不等式的证明方法
1．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、结论的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．
2．在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法．通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析法综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的． 18.（2010·湖南高考理科·Ｔ4）已知函数f(x)?x2?bx?c(b,c?R),对任意的x?R，恒有f'(x)?f(x). （1）证明：当x?0时，f(x)?(x?c)2；
（2）若对满足题设条件的任意b，c，不等式f(c)?f(b)?M(c?b)恒成立，求M的最小值. 【命题立意】以二次函数为载体，考查导数，不等式的证明，消元等知识.考查了等价转化的思想.
'【思路点拨】（1）在对任意的x?R，恒有f(x)?f(x)下可以得到b,c的关系，目标是证明当x?0时，
22f(x)?(x?c)2，其实是寻找条件和目标的关系，连接的纽带是b和c的关系.（2）恒成立，转化为求函
数的最值，而且是二元函数的最值的求法，没有等式的条件下常常用整体消元. 【规范解答】（1）易知f′(x)=2x+b.由题设，对任意的
b2?1. x?R,2x?b?x?bx?c,即x?(b?2)x?c?b?0恒成立，所以(b-2)-4(c-b)≤0,从而c≥4222
于是c≥1，且c≥|b|,因此2c-b=c+(c-b)>0. 故当x≥0时，有(x+c)-f(x)=(2c-b)x+c(c-1)≥0. 即当x≥0时，f(x)?(x?c).
22
f(c)?f(b)c2?b2?bc?b2c?2b??. (2)由（1）知，c＞|b|时，有M≥2222b?cc?bc?b
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