圆学子梦想 铸金字品牌
（方法二）当b?2时，对于x?1，?(x)?x2?bx?1?x2?2x?1?(x?1)2?0 所以f'(x)?0，故此时f(x)在区间(1,??)上递增；
bb?b2?4b?b2?4当b?2时，?(x)图像开口向上，对称轴x??1，方程?(x)?0的两根为：，,222b?b2?4b?b2?42而?1,??(0,1),
222b?b?4b?b2?4b?b2?4 当x?(1,)时，?(x)?0，f'(x)?0，故此时f(x)在区间(1,)上递减；同理得：
22b?b2?4f(x)在区间[,??)上递增.
2综上所述，当b?2时，f(x)在区间(1,??)上递增；
22 当b?2时，f(x)在(1,b?b?4)上递减；f(x)在[b?b?4,??)上递增.
22(2)（方法一）由题意，得：g'(x)?h(x)(x2?2x?1)?h(x)(x?1)2 又h(x)对任意的x?(1,??)都有h(x)>0，
所以对任意的x?(1,??)都有g?(x)?0，g(x)在(1,??)上递增. 又????x1?x2,????(2m?1)(x1?x2). 当m?1,m?1时，???，且??x1?(m?1)x1?(1?m)x2,??x2?(1?m)x1?(m?1)x2， 2
若??x1?x2??，则g(?)?g(x1)?g(x2)?g(?)，∴
，（不合题意）.
- 21 -
圆学子梦想 铸金字品牌
综合以上讨论，得所求m的取值范围是（0，1）.
（方法二）由题设知，g(x)的导函数g'(x)?h(x)(x2?2x?1)，其中函数h(x)?0对于任意的x?(1,??)都成立.所以，当x?1时，g'(x)?h(x)(x?1)2?0，从而g(x)在区间(1,??)上单调递增. ①当m?(0,1)时，有??mx1?(1?m)x2?mx1?(1?m)x1?x1，
??mx1?(1?m)x2?mx2?(1?m)x2?x2，得??(x1,x2)，同理可得??(x1,x2)，所以由g(x)的单调
性知g(?)、g(?)?(g(x1),g(x2))，
从而有|g(?)?g(?)|<|g(x1)?g(x2)|，符合题设. ②当m?0时，??mx1?(1?m)x2?mx2?(1?m)x2?x2，
,???(1?m)x1?mx2?(1?m)x1?mx1?x1，于是由??1?1g(x)的单调性知及
g(?)?g(x1)?g(x2)?g(?)，所以|g(?)?g(?)|≥|g(x1)?g(x2)|，与题设不符.
③当m?1时，同理可得??x1,??x2，进而得|g(?)?g(?)|≥|g(x1)?g(x2)|，与题设不符. 因此综合①、②、③得所求的m的取值范围是（0，1）
23.（2010·浙江高考文科·Ｔ21）已知函数f(x)?(x?a)（x-b）(a,b?R,a （2）设x1,x2是f(x)的两个极值点，x3是f(x)的一个零点，且x3?x1，x3?x2， 证明：存在实数x4，使得x1,x2,x3,x4 按某种顺序排列后得等差数列，并求x4 【命题立意】本题主要考查函数的极值概念、导数运算法则、切线方程、导数应用、等差数列等基础知识，同时考查抽象概括、推理论证能力和创新意识. 【思路点拨】（1）先求出f??2?再代入点斜式方程；（2）先找到x1,x2,x3，观察它们之间的关系，从而确定x4在等差数列中的位置. 【规范解答】(1)当a=1,b=2时，f(x)?(x?1)(x?2), 因为f?(x)=(x-1)(3x-5)，故f? (2)=1，f(2)=0, 所以f(x)在点（2,0）处的切线方程为y=x-2. - 22 - 22圆学子梦想 铸金字品牌 （2）因为f?（x）＝3（x－a）（x－ a?2ba?2b），由于a 3a?2b不妨设x1＝a，x2＝， 3因为x3≠x1，x3≠x2，且x3是f（x）的零点， 故x3＝b. a?2ba?2b－a＝2（b－），所以x1,x4,x2,x3成等差数列. 33a?2b2a?b1所以x4＝（a＋）＝， 3322a?b所以存在实数x4满足题意，且x4＝. 3又因为 【方法技巧】（1）函数y?f(x)在(x0,f(x0))处的切线方程为y?f(x0)?f'(x0)(x?x0)； （2）在函数的极值点处f'(x)?0. 24.（2010·广东高考文科·Ｔ21）已知曲线Cn：y?nx2，点Pn(xn,yn)(xn?0,yn?0)是曲线Cn上的点 (n?1,2…). （1）试写出曲线Cn在点Pn处的切线ln的方程，并求出ln与y轴的交点Qn的坐标； （2）若原点O(0,0)到ln的距离与线段Pn的坐标(xn,yn)； nQn的长度之比取得最大值，试求点P（3）设m与k为两个给定的不同的正整数，xn与yn是满足（2）中条件的点Pn的坐标， 证明： ?n?1s(m?1)xn?(k?1)yn?2ms?ks(s?1,2,…). 【命题立意】本题为一道综合题，主要考查解析几何、导数、不等式等的综合应用. 【思路点拨】(1)利用导数求解；（2）利用不等式的性质求解；（3）用数学归纳法证明. 【规范解答】（1） y?2nx，? f'(xn)?2nxn2' ， ， 切线ln的方程为：y?n?xn?2nxn(x?xn) 即：2nxn?x?y?n?xn?0， 令 2x?0，得 y??nxn2，? Qn(0,?nxn2) . （2）设原点到ln的距离为d，则 - 23 - 圆学子梦想 铸金字品牌 d??nxn2(2nxn)2?1?nxn21?4n2xn2 ， PnQn?xn2?(2nxn2)2 ,nxnnxn1d1222x?(xn?0)时，等号所以 ，，当且仅当即1?4nx???2nn4n2PnQn1?4n2xn2?1?2n?xn4成立，此时，xn? 所以， Pn(1 2n11,) 2n4n. （3）s(m?1)xn?(k?1)yn?2(m?1)xn?(k?1)yn?2(m?1)k?1??4n4nms?ks成立， m?1?k?12?1 n要证 ?n?1 下面用数学归纳法证明1?111?????2s成立. 23s当s?1时，左边=1，右边?21?2，不等式成立. 假设s?k时，不等式成立，即1?111?????2k成立, 23k12(k2?k?)111112 ???????2k?当s?k?1时，1?k?123kk?1k?1? k2?k?k2?k?111?(k?)2， ? k2?k?k? 4221112(k2?k?)2[(k?)?]2?22?2k?1 ? k?1k?1, - 24 - 圆学子梦想 铸金字品牌 ?当s?k?1时，有1?1111?????2?s2k?1成立， 23sk?1综上，1?111?????2s成立， 23s又? m、k?N?，且m?k ?m?1?k?1?1 m?k? 1?111m?1?k?1 ?????2s< 22sS?23sm?k , 所以，原不等式成立. 25.（2010·浙江高考理科·Ｔ22）已知a是给定的实常数，设函数f(x)?(x?a)2(x?b)ex，b?R，x?a是f(x)的一个极大值点． (1)求b的取值范围； (2)设x1,x2,x3是f(x)的3个极值点，问是否存在实数b，可找到x4?R，使得x1,x2,x3,x4的某种排列 xi1,xi2,xi3,xi4(其中?i1,i2,i3,i4?=?1,2,3,4?)依次成等差数列?若存在，求所有的b及相应的x4；若不存在， 说明理由． 【命题立意】本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用及等差数列等基础知识，同时考查推理论证能力、分类讨论等综合解题能力和创新意识. 【思路点拨】（1）利用函数取得极大值的条件，求b的范围；（2）可先求出x1,x2,x3，利用等差 数列的相关知识来求x4.由于x1,x2,x3,x4的排列有多种情况，因此要注意讨论. x2x【规范解答】（1）f′(x)=e(x-a) ???(3?a?b)x?2b?ab?a??, 令g(x)?x?(3?a?b)x?2b?ab?a, 2则?=(3-a+b)2?4(2b?ab?a)?(a?b?1)2?8?0, 于是，假设x1,x2是g(x)?0的两个实根，且x1?x2. ①当x1=a 或x2=a时，则x=a不是f(x)的极值点，此时不合题意. ②当x1?a且x2?a时，由于x=a是f(x)的极大值点，故x1 - 25 - 2