圆学子梦想 铸金字品牌
（2）由（1）可知，假设存在b及x4满足题意，解方程g(x)?0得
(a?b?3)?(a?b?1)2?8(a?b?3)?(a?b?1)2?8，x2?. x1?22①当x2?a?a?x1时，则x4?2x2?a或x4?2x1?a，于是2a?x1?x2?a?b?3， 即b??a?3.此时x4?2x2?a?a?b?3?(a?b?1)2?8?a?a?26 2或x4?2x2?a?a?b?3-(a?b?1)?8?a?a?26. ②当x2?a?2(a?x1)或(a?x1)?2(x2?a)时， (i)若x2?a?2(a?x1)，则x4?a?x2， 23(a?b?3)?(a?b?1)2?82于是3a?2x1?x2?，即(a?b?1)?8??3(a?b?3)，于是
2a?b?1??9?13?9?13或（舍）. 22此时x4?a?x22a?(a?b?3)?3(a?b?3)1?13. ???b?3?a?242a?x1， 2②若a?x1?2(x2?a)，则x4?
于是a?b?1??9?13?9?13（舍）或. 22此时x4?a?x12a?(a?b?3)?3(a?b?3)1?13 ???b?3?a?242，
综上所述，存在b满足题意， 当b=-a-3时， x4?a?26； 当b??a?7?131?13时，x4?a?； 227?131?13时，x4?a?. 22- 26 -
当b??a?
圆学子梦想 铸金字品牌
【方法技巧】1、函数在x0处取得极大值的条件是，在x0的左侧f'(x)?0，在x0的右侧f'(x)?0； 2、由于本题的f(x)的3个极值点间存在关系x1
26.（2010·福建高考文科·Ｔ22）已知函数f（x）=方程为y=3x-2. (1)求实数a,b的值； (2)设g（x）=f(x)+
13x?x2?ax?b的图像在点P（0,f(0)）处的切线3m是[2,??]上的增函数. x?1①求实数m的最大值；
②当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线若能与曲线y=g(x)围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.
【命题立意】本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查抽象概括、推理论证、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归转化思想、分类与整合的思想.
【思路点拨】第一步利用切线方程列出两个方程求解a,b的值；第二步（1）利用导数的符号与单调性的关系，把单调性问题转化为恒成立问题进而转化为求最值的问题进行解决；（2）利用函数图像的中心对称，得两个封闭图形的面积总是相等的.
??f??0??3?a?3,,??【规范解答】(1)由f'(x)?x?2x?a，及题设得?
?f?0???2?b??2.?2（2）①由g?x??13mmx?x2?3x?2?得g??x??x2?2x?3?，?g?x?是?2,???上的增23x?1?x?1?2函数，?g??x??0在?2,???上恒成立，设?x?1??t，?x??2,???，?t??1,???，即不等式
m?0在?1,???上恒成立. tm当m?0时，不等式t?2??0在?1,???上恒成立；
tmmm当m?0时，不等式y?t?2?，t??1,???，因为y??1?2?0，所以函数y?t?2?在?1,???上
tttt?2?单调递增；因此ymin?3?m，?ymin?0,?3?m?0,?m?3，又m?0，故0?m?3， 综上所述，m的最大值为3； ②由①得g?x??133?1?x?x2?3x?2?，其图像关于点Q?1,?成中心对称. 3x?1?3?- 27 -
圆学子梦想 铸金字品牌 证明如下：?g?x??133x?x2?3x?2?， 3x?1?g?2?x??1831332??x3?x2?3x?? ?2?x???2?x??3?2?x??2?31?x3?2?x??13因此g?x??g?2?x??2，上式表明，若点A?x,y?为函数g?x?的图像上的任意一点，则点32???1?B?2?x,?y?也一定在函数g?x?的图像上，而线段AB的中点恒为Q?1,?，由此即知函数g?x?的
3???3?图像关于点Q?1,?成中心对称.
?1??3?这也表明，存在点Q?1,?，使得过点Q的直线若能与函数g?x?的图像围成两个封闭的图形，则这两个封闭的图形的面积总相等.
【方法技巧】函数导数的内容在历年高考中主要集中在切线方程、导数的计算，利用函数判断函数单调性、极值、最值等问题，以及与不等式、三角函数、数列、立体几何、解析几何等知识相联系的综合题目，类型有交点个数、恒成立问题等,其中渗透并充分利用构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要的思想方法，主要考查导数的工具性作用.
27.（2010·山东高考理科·Ｔ22）已知函数f(x)?lnx?ax?(1)当a??1??3?1?a?1(a?R). x1时，讨论f(x)的单调性； 212（2）设g(x)?x?2bx?4.当a?时，若对任意x1?(0,2)，存在x2??1,2?，
4使f(x1)?g(x2)，求实数b的取值范围.
【命题立意】本题将导数、二次函数、不等式知识有机地结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力.
【思路点拨】（1）直接利用函数单调性与导数的关系讨论函数的单调性,同时应注意分类标准的选择； （2）利用导数求出f(x)的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出g(x)在闭区间[1,2]上的最大值，然后解不等式求参数.
【规范解答】（1）因为f(x)?lnx?ax?1?a?1 x，
1a?1ax2?x?1?a 所以f?(x)??a?2??，x?(0,??)，
xxx2
- 28 -
圆学子梦想 铸金字品牌
令h(x)?ax2?x?1?a，x?(0,??). ①当a?0时，h(x)??x?1，x?(0,??)，
所以当x?(0,1)时，h(x)?0,此时f?(x)?0，函数f(x)单调递减； 当x?(1,??)时，h(x)?0，此时f?(x)?0，函数f(x)单调递增. ②当a?0时，由f?(x)?0，
2 即 ax?x?1?a?0，解得 x1?1,x2?1?1 a,
x?(0,1)时，h(x)?0，此时f?(x)?0，函数f(x)单调递减； 1x?(1,?1)时，h(x)?0，此时f?(x)?0，函数f(x)单调递增；
a1x?(?1,??)时，h(x)?0，此时f?(x)?0，函数f(x)单调递减.
a(iii)当a?0时，由于
1?1?0 a,
x?(0,1)时，h(x)?0，此时f?(x)?0，函数f(x)单调递减；
1??)时，h(x)?0，此时f?(x)?0，函数f(x)单调递增 x?(0, 综上所述：
当a?0时，函数f(x)在（0,1）上单调递减； 函数f(x)在(1,??)上单调递增；
1时，函数f(x)在(0,??)上单调递减； 21 当0?a?时，函数f(x)在（0,1）上单调递减；
21 函数f(x)在(1,?1)上单调递增；
a 当a? - 29 -
圆学子梦想 铸金字品牌
函数f(x)在(（2）因为a?1?1,??)上单调递减. a11?(0,)，由（1）知，x1?1,x2?3?(0,2)，当x?(0,1)时，f?(x)?0， 42 函数f(x)单调递减；当x?(1,2)时，f?(x)?0，函数f(x)单调递增，所以f(x)在 （0 , 2）上的最小值为f(1)??1 2，
由于“对任意x1?(0,2)，存在x2?[1,2]，使f(x1)?g(x2)”等价于 “g(x)在[1,2]上的最小值不大于f(x)在（0 ，2）上的最小值?1” 2又g(x)?(x?b)2?4?b2,x?[1,2],所以① 当 b<1 时，因为 [g(x)]min?g(1)?5?2b?0,此时与题设矛盾② 当 b?[1,2]时，因为[g(x)]min?4?b2?0，同样与题设矛盾1③ 当 b?（2，??）时，因为[g(x)]?g(2)?8?4b,解不等式8-4b?? min217可得b?817综上，b的取值范围是[,??)8【方法技巧】1、分类讨论的原因
(1)某些概念、性质、法则、公式分类定义或分类给出；
(2)数的运算：如除法运算中除式不为零，在实数集内偶次方根的被开方数为非负数，对数中真数与底数的要求，不等式两边同乘以一个正数还是负数等；
(3)含参数的函数、方程、不等式等问题，由参数值的不同而导致结果发生改变； (4)在研究几何问题时，由于图形的变化(图形位置不确定或形状不确定)，引起问题的结果有多种可能. 2、分类讨论的原则 (1)要有明确的分类标准；
(2)对讨论对象分类时要不重复、不遗漏； (3)当讨论的对象不止一种时，应分层次进行. 3、分类讨论的一般步骤
(1)明确讨论对象，确定对象的范围；
(2)确定统一的分类标准，进行合理分类，做到不重不漏； (3)逐段逐类讨论，获得阶段性结果；
- 30 -