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bc?2b1令t?,则?1?t?1,?2?.cb?c1?t13而函数g(t)?2?(?1?t?1)的值域是（-?，）.
1?t23因此，当c?|b|时，M的取值集合为[,??）2当c=|b|时，由（1）知，b=±2,c=2.此时f(c)-f(b)=-8或0，c-b=0, 从而f(c)-f(b)≤0，M无最小值.综上所述，M的最小值为
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3. 2【方法技巧】求最值是高考中重点也是难点.解题的思路是，首先看变量的个数，如果是三个变量常有三条路，一是利用柯西不等式、均值不等式和排序不等式，二是消元转化为二元再转化为一元，三是有时利用几何背景解题.如果是两个变量常常有三条路可走，一是利用柯西不等式、均值不等式，二是消元转化为一元函数，三是如果条件是不等式，常常也可以用数学规划.如果是一个变量，常用方法：基本函数模型，单调性法和导数法.
19.（2010·辽宁高考文科·Ｔ21） 已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax+1. (1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)设a≤-2，证明：对任意x1,x2?(0,+∞)，|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|.
【命题立意】本题考查了函数的单调性与导数，求参数的取值范围，考查了分类讨论、转化等思想方法以及运算推理能力.
【思路点拨】（1）求导数，对参数分类，讨论导数的符号，判断单调性，
（2）转化为等价命题，构造新函数g(x)=f(x)+4x,通过g(x)的单调性证明. 【规范解答】
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【方法技巧】1.讨论函数的单调性要明确函数的定义域，一般用导数的方法，对参数分类做到不重不漏. 2、直接证明一个命题，不好证时可考虑证明它的等价命题.
20.（2010·辽宁高考理科·Ｔ21）已知函数f(x)?(a?1)lnx?ax2?1. （1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）设a??1.如果对任意x1,x2?(0,??)，
，求a的取值范围.
【命题立意】本题考查了函数的单调性与导数，求参数的取值范围，考查了分类讨论、转化等思想方法以及运算能力.
【思路点拨】（1）求导数，对参数分类，讨论导数的符号，判断单调性，
（2）转化为等价命题，构造新函数g(x)=f(x)+4x,分离参数，求a的范围. 【规范解答】
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【方法技巧】
1、 讨论函数的单调性首先要明确函数的定义域，一般用导数的方法，对参数分类做到不重不漏. 2、 求参数的取值范围往往要分离变量，分离时一定要使分离后的式子有意义，如分母不为0等. 3、 直接证明一个命题，不好证时可考虑证明它的等价命题. 21.（2010·天津高考理科·Ｔ2１）已知函数f(x)?xe?x(x?R).
（1）求函数f(x)的单调区间和极值；
（2）已知函数y?g(x)的图象与函数y?f(x)的图象关于直线x?1对称，证明当x?1时，
f(x)?g(x).
（3）如果x1?x2，且f(x1)?f(x2)，证明x1?x2?2
.
【命题立意】本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力. 【思路点拨】利用导数及函数的性质解题. 【规范解答】（1）f′(x)?(1?x)e
?x，令f′(x)=0,解得x=1，
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当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表
x f′(x) f(x) (??,1) + 1 0 极大值 (1,??) - ? ? 所以f(x)在(??,1)内是增函数，在(1,??)内是减函数.
函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=
1 e.
x?2（2）由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)e,
令F(x)=f(x)-g(x),即F(x)?xe?x?(x?2)ex?2, 于是F'(x)?(x?1)(e2x?2?1)e?x,
当x>1时，2x-2>0,从而e2x-2?1?0,又e?x?0,所以F′(x)>0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数. 又F(1)=e?e?0，所以x>1时，有F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x). (3)①
-1-11(xx1??1)(1)(xx2??1)1)??0,0,由（由（??）及）及f(xf(x11))??f(xf(x22),),则则xx?xx2??1.1.与与xx?xx2矛盾。矛盾。若( 1?1?②若 (x(x?xx??0,）及f(x?得x1x?x与x1x?x?1)(?1)?由（0,由（f(x)f(x?f(x),得?x.与?x矛盾。??1??）及1)12),22.2矛盾。11)(21)根据①②得(x1?1)(x2?1)?0,不妨设x1?1,x2?1.
由（2）可知，所以f(x2)>f(2-x2),从而f(x1)>f(2-x2).因为x2?1，f(x2)>g(x2),又g(x2)=f(2-x2)，所以2?x2?1，又由（1）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内是增函数，所以x1>2?x2,即x1?x2>2. 22.（2010·江苏高考·Ｔ20）设f(x)是定义在区间(1,??)上的函数，其导函数为f'(x).如果存在实数a2和函数h(x)，其中h(x)对任意的x?(1,??)都有h(x)>0，使得f'(x)?h(x)(x?ax?1)，则称函数f(x)具有性质P(a). (1)设函数f(x)?lnx?b?2(x?1)，其中b为实数. x?1(i)求证：函数f(x)具有性质P(b)； (ii)求函数f(x)的单调区间.
(2)已知函数g(x)具有性质P(2)，给定x1,x2?(1,??),x1?x2,设m为实数，
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??mx1?(1?m)x2，??(1?m)x1?mx2，且??1,??1，
若|g(?)?g(?)|<|g(x1)?g(x2)|，求m的取值范围.
【命题立意】本题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力.
【思路点拨】(1)求出f'(x)，并将其表示为f'(x)?h(x)(x2?ax?1)的形式，注意h(x)?0. (2)利用(1)的结论求解. 【规范解答】 （1）(i)f'(x)?1b?21??(x2?bx?1)， 22x(x?1)x(x?1)1?0恒成立，
x(x?1)2∵x?1时，h(x)?∴函数f(x)具有性质P(b).
b2b2(ii)（方法一）设?(x)?x?bx?1?(x?)?1?，?(x)与f'(x)的符号相同.
24b2?0,?2?b?2时，?(x)?0，f'(x)?0，故此时f(x)在区间(1,??)上递增； 当1?42当b??2时，对于x?1，有f'(x)?0，所以此时f(x)在区间(1,??)上递增； 当b??2时，?(x)图像开口向上，对称轴x?b??1，而?(0)?1，所以当x>1时2????(0)?0，?0，所以此时f(x)在区间(1,??)上递增； ?(x)??(xx)?(0，ff'(xx)?bb?b2?4b?b2?4当b?2时，?(x)图像开口向上，对称轴x??1，方程?(x)?0的两根为：，,222b?b2?4b?b2?42而?1,??(0,1)
222b?b?4b?b2?4b?b2?4 当x?(1,)时，?(x)?0，f'(x)?0，故此时f(x)在区间(1,)上递减；同理得：
22b?b2?4f(x)在区间[,??)上递增.
2综上所述，当b?2时，f(x)在区间(1,??)上递增；
22b?b?4b?b?4b?2 当时，f(x)在(1,,??)上递增. )上递减；f(x)在[22 - 20 -