圆学子梦想 铸金字品牌
1?k)1?kk?(?1,0)，x2?0. 当k?1时，f'(x)??0，得x1?k1?x1?k1?k,0)上，f'(x)?0 )和(0,??)上，f'(x)?0；在区间(所以在区间(?1,kk1?k1?k,0) )和(0,??)，单调递减区间是(故f(x)的单调递增区间是(?1,kkkx(x?【方法技巧】
（1）y?f(x)过(x0,f(x0))的切线方程为y?f(x0)?f'(x0)(x?x0). （2）求单调区间时要在定义域内讨论f'(x)的正负.
11.（2010·安徽高考文科·Ｔ20）设函数f?x??sinx?cosx?x?1，0?x?2?，求函数
f?x?的单调区间与极值.
【命题立意】本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查考生运算 能力、综合分析问题能力和问题的化归转化能力.
【思路点拨】对函数f(x)求导，分析导数f?(x)的符号情况，从而确定f(x)的单调区间和极值.
解：由f(x)=sinx-cosx+x+1,0 ?) 4, x f?(x) f(x) ?0,?? + ? 0 极大值 ?3???,2?- ?? ?3? 20 极小值 ?3??,2??? ?2?+ ? ? ? 因此,由上表知f(x)的单调递增区间是(0,?)与(极小值为f(3?3?)=，极大值为f(?)=??2. 223?3?，2?),单调递减区间是(?，)22, 【方法技巧】利用导数研究函数的单调性和极值是解决函数单调性、极值问题的常用方法， 简单易行，具体操作流程如下： （1）求导数f(x)； - 6 - '圆学子梦想 铸金字品牌 （2）求方程f'(x)?0的全部实根； （3）列表，检查f'(x)在方程f'(x)?0的根左、右的值的符号； （4）判断单调区间和极值. 12.（2010·北京高考文科·Ｔ１8） 设函数f(x)?的两个根分别为1，4. （1）当a=3且曲线y?f(x)过原点时，求f(x)的解析式； （2）若f(x)在(??,??)无极值点，求a的取值范围. 【命题立意】本题考查了导数的求法，函数的极值，二次函数等知识. 【思路点拨】(1)由f'(x)?9x?0的两个根及y?f(x)过原点，可解出b,c,d； （2）f'(x)是开口向上的二次函数，f(x)无极值点，则f'(x)?0恒成立. 【规范解答】由f(x)?a3x?bx2?cx?d，(a(?a0)?0)，且方程f'(x)?9x?03a3x?bx2?cx?d 得 f?(x)?ax2?2bx?c, 3（*） 因为f?(x)?9x?ax2?2bx?c?9x?0的两个根分别为1,4，所以 （1）当a?3时，（*）式为解得b??3,c?12, 又因为曲线y?f(x)过原点，所以d?0, 故f(x)?x?3x?12x. （2）由于a>0,所以f(x)?在（-∞，+∞）内恒成立. 由（*）式得2b?9?5a,c?4a. 又??(2b)?4ac?9(a?1)(a?9), 解?232 a32x?bx2?cx?d在（-∞，+∞）内无极值点等价于f?(x)?ax?2bx?c?03?a?0 得a??1,9? ???9(a?1)(a?9)?0即a的取值范围为?1,9? - 7 - 圆学子梦想 铸金字品牌 【方法技巧】（1）当f'(x)在x0的左侧为正，右侧为负时，x0为极大值点；当f'(x)在x0的左侧为负，右侧为正时，x0为极小值点. ?a?0（2）二次函数恒成立问题可利用开口方向与判别式来解决.y?ax?bx?c 恒大于0，则?；（ɑ≠0）??0?2?a?0； y?ax2?bx?c（ɑ≠0）恒小于0，则????013.（2010·安徽高考理科·Ｔ17）设a为实数，函数f?x??ex?2x?2a,x?R. (1)求f?x?的单调区间与极值； (2)求证：当a?ln2?1且x?0时，e?x?2ax?1. 【命题立意】本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间、求函数的极值、证明不等式， 考查考生运算能力、综合分析问题能力和问题的化归转化能力. 【思路点拨】(1)先分析f(x)的导数f?(x)的符号情况，从而确定f(x)的单调区间和极值； (2) 设g(x)?ex?x2?2ax?1，把问题转化为：求证：当a?ln2?1且x?0时，g(x)?0. 【规范解答】（1）?f(x)?ex?2x?2a，?f?(x)?ex?2, 令f?(x)?0，得x?ln2， x2x f?(x) f(x) ???,ln2? ? ? ln2 ?ln2,??? ? ? 0 极小值 ?f(x)在???,ln2?上单调递减，在?ln2,???上单调递增； 当x?ln2时，f(x)取得极小值为2?2ln2?2a. （2）设g(x)?e?x?2ax?1，?g?(x)?e?2x?2a?f(x), 由（1）问可知，g?(x)?2?2ln2?2a恒成立， 当a?ln2?1时，则g?(x)?0恒成立，所以g(x)在R上单调递增， 所以当x?0时，g(x)?g(0)?0， x2x - 8 - 圆学子梦想 铸金字品牌 即当a?ln2?1且x?0时，e?x?2ax?1. 【方法技巧】1、利用导数研究函数的单调性是解决函数单调性问题的常用方法，简单易行； 2、证明不等式问题，如证f1(x)?f2(x)，通常令g(x)?f1(x)?f2(x)，转化为证明：g(x)?0. 14.（2010·天津高考文科·Ｔ20）已知函数f（x）=ax?3x232x?1(x?R)，其中a>0. 2（1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程； （2）若在区间???11?,?上，f（x）>0恒成立，求a的取值范围. 22??【命题立意】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法. 【思路点拨】应用导数知识求解曲线的切线方程及函数最值. 【规范解答】（1）当a=1时，f（x）=x?332x?1，f（2）=3；f′(x)=3x2?3x, f′(2)=6. 2所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9. （2）f′(x)=3ax?3x?3x(ax?1).令f′(x)=0，解得x=0或x= 以下分两种情况讨论： （1） 若0?a?2，则21. a11?，当x变化时，f′(x)，f（x）的变化情况如下表： a20 0 极大值 x f′(x) f(x) ?1?0? ??，2??+ ?1??0，? ?2?- ? ? 1?5?a??0,f(?)?0,??11????82即? 当x???，?时，f（x）>0等价于? 15?a?22??f()?0,??0.???2?8 解不等式组得-5 （2） 若a>2，则0? - 9 - 11?.当x变化时，f′(x),f（x）的变化情况如下表： a2圆学子梦想 铸金字品牌 x f′(x) f(x) ?1?0? ??，2??+ 0 0 极大值 ?1??0，? ?a?- 1 a0 极小值 ?11??，? ?a2?+ ? ? ? ?5?a?1>0,f(-)>0,???2?8?11?当x???，?时，f（x）>0等价于?即? 1122???f()>0,?1->0.???a?2a2解不等式组得 22.因此2 15.（2010·山东高考文科·Ｔ21）已知函数f(x)?lnx?ax?1?a?1(a?R). x（1）当a??1时，求曲线y?f(x)在点(2,f(2))处的切线方程； （2）当a?1时，讨论f(x)的单调性. 2【命题立意】本题主要考查导数的概念、导数的几何意义和利用导数研究函数性质的能力.考查分类讨论思想、数形结合思想和等价变换思想. 【思路点拨】(1)根据导数的几何意义求出曲线y?f(x)在点(2,f(2))处的切线的斜率；（2）直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性,同时应注意分类标准的选择. 【规范解答】（1） 当a??1 时，f(x)?lnx?x?2?1,x?(0,??), xx2?x?2所以 f??x?? 2x, 因此， f??2??1,即曲线y?f(x)在点（2，f(2))处的切线斜率为 1. ，又f(2)?ln2?2, 所以曲线y?f(x)在点（2，f(2)) 处的切线方程为 y?(ln2?2)?x?2, 即 x?y?ln2?0. ax2?x?1?a1?a1a?1?1,所以f'(x)??a?2??（2）因为f(x)?lnx?ax? , x?(0,??),令2xxxx - 10 -