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(4)归纳总结，得出结论.
28.（2010 ·海南高考理科·T21）设函数f(x)=e?1?x?ax. （1)若a?0,求f(x)的单调区间;
（2）若当x?0时f(x)?0，求a的取值范围.
【命题立意】本题考查利用导数研究函数的单调性，最值问题，
【思路点拨】利用导数求出函数的单调区间，然后再利用单调性求参数的取值. 【规范解答】（1) a?0时，f(x)?ex?1?x,f?(x)?ex?1. 当x?(??,0)时，f?(x)?0；当x?(0,??)时，f?(x)?0， 故f(x)的单增区间为(0,??)，单减区间为(??,0). （2）f?(x)?ex?1?2ax.
由（1)知e?1?x，当且仅当x?0时等号成立， 故f?(x)?ex?1?2ax?1?x?1?2ax?(1?2a)x， 从而当1?2a?0，即a?xx21时，f?(x)?0(x?0)，而f(0)?0， 2
于是，当x?0时f(x)?0. 由e?1?x(x?0)可得ex?x?1?x(x?0)，从而，当a?1时， 2f?(x)?ex?1?2a(e?x?1)?e?x(ex?1)(ex?2a),
故当x?(0,ln2a)时，f?(x)?0，而f(0)?0，所以当x?(0,ln2a)时，f(x)?0， 综上可知，实数a的取值范围为a?1. 2【方法技巧】利用导数求出函数的单调区间，再利用函数的单调性，列出参数需满足的不等式（组）进行相关的计算.
29.（2010·福建高考理科·Ｔ20）(1)已知函数f(x)=x-x，其图像记为曲线C. ①求函数f(x)的单调区间；
②证明：若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1（x1,f(x1）)处的切线交于另一点P2（x2,f(x2)）.曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3 （x3,f(x3)），线段P1P2,P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1,S2，则
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S1为定值. S2- 31 -
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（2）对于一般的三次函数g（x）=ax+bx+cx+d(a?0)，请给出类似于(1) ②的正确命题，并予以证明.
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【命题立意】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括、推理论证、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归转化思想、特殊与一般的思想.
【思路点拨】第一步（1）利用导数求解函数的单调区间，（2）利用导数求解切线的斜率，写出切线方程，并利用定积分求解S1,S2及其比值；第二步利用合情推理的方法对问题进行推广得到相关命题，并利用平移的方法进行证明.
【规范解答】（1) ①f'(x)?3x2?1?(3x?1)(3x?1)，令f'(x)?0得到x>33，令或x<-33f'(x)?0得-333311，因此原函数的单调递增区间为(??,?）和(( 333333(-33,) 33； 32②f'(x)?3x2?1，P1(x1,x1?x1)，f'(x1)?3x1?1，因此 23过点P1的切线方程为：y?3x1?1?x?x1??x1?x1，即 ??23?y?3x?1x?2x???11y??3x12?1?x?2x13，由?得 y?x3?x??x3?x??3x12?1?x?2x13，所以x?x1或x??2x1，故x2??2x1，进而有 S1???2x1x1?2x1274?143223233?x?3xx?2xdx?x?xx?2xxx1，用x2代替x1，重复上面的计?11?11??x?24?4?1算，可得x3??2x2和S2?S127427?164x2，又x2??2x1?0，?S2?x1?0，因此有1? 44S216. 32（2）命题:若对于任意函数g(x)?ax?bx?cx?d的图像为曲线C'，其类似于(1) ②的命题为：若对任意不等于?b的实数x1，曲线与其在点P1(x1,g(x1))处的切线交于另一点P2(x2,g(x2))，曲线C'与其3a在点P2(x2,g(x2))处的切线交于另外一点P1P2、P3(x3,g(x3))，线段P2P3与曲线C'所围成图形的面积为 S1、S2，则 S11?. S21632证明:对于曲线y?ax?bx?cx?d，无论如何平移，其要求面积值是恒定的，所以这里仅考虑 322y?ax3?bx2?cx的情形，y'?3ax2?2bx?c，P1(x1,ax1?bx1?cx1)，f'(x1)?3ax1?2bx1?c， - 32 - 圆学子梦想 铸金字品牌 因此过点P1的切线方程为： 化简：得到 b?2ax12b2?4a2x12?6abx1?ac,)同样运用(1)中的方法便可(x?x1)(ax?b?2ax1)?0所以P2(?aa2以得到x3?2b?4x1??2x2 a， 所以 S11?. S216【方法技巧】函数、导数的内容在历届高考中主要考查切线方程、导数的计算，利用导数判断函数单调性、极值、最值等问题，试题还与不等式、三角函数、数列、立体几何、解不等式等知识联系，类型有交点个数、恒成立问题等,其中渗透并充分利用构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要的思想方法，主要考查导数的工具性作用. 关闭Word文档返回原板块。 - 33 -