西安电子(高西全丁美玉第三版)数字信号处理课后答案第2章
1.2 教材第一章习题解答
1. 用单位脉冲序列?(n)及其加权和表示题1图所示的序列。 解：
x(n)??(n?4)?2?(n?2)??(n?1)?2?(n)??(n?1)?2?(n?2)?4?(n?3)
?0.5?(n?4)?2?(n?6)?2n?5,?4?n??1?2. 给定信号：x(n)??6,0?n?4
?0,其它?（1）画出x(n)序列的波形，标上各序列的值；
（2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列； （3）令x1(n)?2x(n?2)，试画出x1(n)波形； （4）令x2(n)?2x(n?2)，试画出x2(n)波形； （5）令x3(n)?2x(2?n)，试画出x3(n)波形。 解：
（1）x(n)的波形如题2解图（一）所示。 （2）
x(n)??3?(n?4)??(n?3)??(n?2)?3?(n?1)?6?(n)
?6?(n?1)?6?(n?2)?6?(n?3)?6?(n?4)（3）x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。 （4）x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。 （5）画x3(n)时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，x3(n)波形如题2解图（四）所示。 3. 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。 （1）x(n)?Acos(（2）x(n)?e解：
3??n?)，A是常数； 78。
1j(n??)832?14?,?，这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14； 7w312??16?，这是无理数，因此是非周期序列。 （2）w?,8w（1）w?
5. 设系统分别用下面的差分方程描述，x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。 （1）y(n)?x(n)?2x(n?1)?3x(n?2)； （3）（5）
y(n)?x(n?n0)，n0为整常数； y(n)?x2(n)；
y(n)??x(m)。
m?0n（7）解：
（1）令：输入为x(n?n0)，输出为故该系统是时不变系统。
y'(n)?x(n?n0)?2x(n?n0?1)?3x(n?n0?2)y(n?n0)?x(n?n0)?2x(n?n0?1)?3x(n?n0?2)?y(n)'
y(n)?T[ax1(n)?bx2(n)] ?ax1(n)?bx2(n)?2(ax1(n?1)?bx2(n?1))?3(ax1(n?2)?bx2(n?2))T[ax1(n)]?ax1(n)?2ax1(n?1)?3ax1(n?2) T[bx2(n)]?bx2(n)?2bx2(n?1)?3bx2(n?2) T[ax1(n)?bx2(n)]?aT[x1(n)]?bT[x2(n)]
故该系统是线性系统。
（3）这是一个延时器，延时器是一个线性时不变系统，下面予以证明。 令输入为x(n?n1)，输出为
y'(n)?x(n?n1?n0)，因为
y(n?n1)?x(n?n1?n0)?y'(n)
故延时器是一个时不变系统。又因为
T[ax1(n)?bx2(n)]?ax1(n?n0)?bx2(n?n0)?aT[x1(n)]?bT[x2(n)]
故延时器是线性系统。
（5） 令：输入为x(n?n0)，输出为
2y(n)?x(n )y'(n)?x2(n?n0)，因为
y(n?n0)?x2(n?n0)?y'(n)
故系统是时不变系统。又因为
T[ax1(n)?bx2(n)]?(ax1(n)?bx2(n))2 ?aT[x1(n)]?bT[x2(n)]
2 ?ax12(n)?bx2(n)因此系统是非线性系统。
（7）
y(n)??x(m )m?0nn令：输入为x(n?n0)，输出为
y(n)??x(m?n0)，因为
'm?0y(n?n0)??x(m)?y'(n)
m?0n?n0故该系统是时变系统。又因为
T[ax1(n)?bx2(n)]??(ax1(m)?bx2(m))?aT[x1(n)]?bT[x2(n)]
m?0n故系统是线性系统。
6. 给定下述系统的差分方程，试判断系统是否是因果稳定系统，并说明理由。
1N?1（1）y(n)??x(n?k)；
Nk?0（3）y(n)?n?n0k?n?n0?x(k)；
。
（5）y(n)?e解：
x(n)（1）只要N?1，该系统就是因果系统，因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。如果因此系统是稳定系统。 （3）如果
则y(n)?M，x(n)?M，
x(n)?M，y(n)?n?n0k?n?n0?x(k)?2n0?1M，因此系统是稳定的。系统是非因果的，因为输出还和x(n)
的将来值有关.
（5）系统是因果系统，因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。如果此系统是稳定的。
7. 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题7图所示，要求画出输出输出y(n)的波形。 解：
解法（1）:采用图解法
x(n)?eM，因x(n)?M，则y(n)?ex(n)?ey(n)?x(n)?h(n)??x(m)h(n?m)
m?0?图解法的过程如题7解图所示。
解法（2）:采用解析法。按照题7图写出x(n)和h(n)的表达式:
x(n)???(n?2)??(n?1)?2?(n?3) 1h(n)?2?(n)??(n?1)??(n?2)2
x(n)*?(n)?x(n)因为
x(n)*A?(n?k)?Ax(n?k)1y(n)?x(n)*[2?(n)??(n?1)??(n?2)]2所以
1 ?2x(n)?x(n?1)?x(n?2)2将x(n)的表达式代入上式，得到
y(n)??2?(n?2)??(n?1)?0.5?(n)?2?(n?1)??(n?2)
?4.5?(n?3)?2?(n?4)??(n?5)8. 设线性时不变系统的单位取样响应h(n)和输入x(n)分别有以下三种情况，分别求出输出y(n)。 （1）h(n)?R4(n),x(n)?R5(n)；
（2）h(n)?2R4(n),x(n)??(n)??(n?2)； （3）h(n)?0.5解：
（1）
nu(n),xn?R5(n)。
y(n)?x(n)*h(n)?m????R(m)R(n?m)
45?先确定求和域，由R4(m)和R5(n?m)确定对于m的非零区间如下：
0?m?3,n?4?m?n
根据非零区间，将n分成四种情况求解： ①n?0,y(n)?0
②0?n?3,y(n)?m?0?1?n?1 ?1?8?n
3n③4?n?7,y(n)?m?n?4④7?n,y(n)?0 最后结果为
?0, n?0,n?7?y(n)??n?1, 0?n?3
?8?n, 4?n?7?y(n)的波形如题8解图（一）所示。 （2）
y(n)?2R4(n)*[?(n)??(n?2)]?2R4(n)?2R4(n?2) ?2[?(n)??(n?1)??(n?4)??(n?5)]y(n)的波形如题8解图（二）所示. （3）
y(n)?x(n)*h(n) ?m?????R5(m)0.5n?mu(n?m)?0.5nm?????R5(m)0.5?mu(n?m)
y(n)对于m的非零区间为0?m?4,m?n。 ①n?0,y(n)?0
n②0?n?4,y(n)?0.5nm?04?0.5?m?m1?0.5?n?1n?n?1nn ?0.5??(1?0.5)0.5?2?0.5?11?0.5③5?n,y(n)?0.5nm?0?0.51?0.5?5?0.5n?31?0.5n ?11?0.5最后写成统一表达式：
y(n)?(2?0.5n)R5(n)?31?0.5nu(n?5)
11. 设系统由下面差分方程描述：
y(n)?解：
11y(n?1)?x(n)?x(n?1)； 22设系统是因果的，利用递推法求系统的单位取样响应。
令：x(n)??(n)
h(n)?11h(n?1)??(n)??(n?1) 2211h(?1)??(0)??(?1)?12211n?1,h(1)?h(0)??(1)??(0)?122
11n?2,h(2)?h(1)?2211n?3,h(3)?h(2)?()222n?0,h(0)?归纳起来，结果为
1h(n)?()n?1u(n?1)??(n)
212. 有一连续信号xa(t)?cos(2?（1）求出xa(t)的周期。
ft??),式中，f?20Hz,???2