X(e)?H(e)?jwjwjwn????[?(n)?2?(n?2)]e????jwn?1?2e?j2w1
1?ae?jwau(n)ejwn?jwnn???jw??ane?jwn?n?0?1?2e?j2wY(e)?H(e)X(e)?1?ae?jw13. 已知xa(t)?2cos(2?f0t)，式中f0?100Hz，以采样频率fs?400Hz对xa(t)进行采样，得到采样信号xa(t)和
时域离散信号x(n)，试完成下面各题： （1）写出xa(t)的傅里叶变换表示式Xa(j?)； （2）写出xa(t)和x(n)的表达式；
（3）分别求出xa(t)的傅里叶变换和x(n)序列的傅里叶变换。 解： （1）
Xa(j?)??xa(t)e?j?tdt??2cos(?0t)e?j?tdt???????
??(e??j?0t?e?j?0t)e?j?tdt上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数?函数，它的傅里叶变换可以 表示成：
Xa(j?)?2?[?(???0)??(???0)])
（2）
?a(t)?xn????x(t)?(t?nT)??2cos(?nT)?(t?nT)
a0n?????x(n)?2cos(?0nT), ???n??
?0?2?f0?200?rad,T?（3）
?1?(j?)??X(j??jk?)XaasTk???
?2? ??[?(???0?k?s)??(???0?k?s)]Tk???1?2.5ms fs式中?s?2?fs?800?rad/s
X(e)? ?式中w0jwn?????x(n)e?[ejw0n??jwn?n????2cos(?nT)e0?k?????jwn?n????2cos(wn)e00??jwn
?e?jw0n]e?jwn?2?n????[?(w?w?2k?)??(w?w0?2k?)]??0T?0.5?rad
上式推导过程中，指数序列的傅里叶变换仍然不存在，只有引入奇异函数函数，才能写出它的傅里叶变换表达式。 14. 求以下序列的Z变换及收敛域： （2）?2（3）2?nu(?n?1)；
?nu(?n)；
[u(n)?u(n?10)]
（6）2 解：
?n（2） （3）
ZT[2u(n)]??nn????2u(n)z?n?n??n??2?nz?n?n?0?11 ,z??1?11?2z2ZT[?2u(?n?1)]? ?（6）
n?????2??nu(?n?1)z?n?n??1??2??nz?n???2nznn?1??2z11?,z?1?2z1?2?1z?129
ZT[2u(n)?u(n?10)]??2?nz?n?nn?0 ?16. 已知:
1?2z,0?z??1?2?1z?1?10?10
X(z)?32 ?1?11?2z?11?z2求出对应X(z)的各种可能的序列的表达式。 解：
有两个极点，因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有以下三种情况： 三种收敛域对应三种不同的原序列。 （1）当收敛域
z?0.5时，
x(n)?12?j?cX(Z)zn?1dz
令F(z)?X(z)zn?15?7z?15z?7n?1n ?z?z?1?1(1?0.5z)(1?2z)(z?0.5)(z?2)n?0，因为c内无极点，x(n)=0；
n??1，C内有极点0，但z=0是一个n阶极点，改为求圆外极点留数，圆外极点有z1?0.5,z2?2，那么
x(n)??Res[F(z),0.5]?Res[F(z),2](5z?7)zn(5z?7)zn ?(z?0.5)z?0.5?(z?2)(z?0.5)(z?2)(z?0.5)(z?2)1 ??[3()n?22n]u(?n?1)2（2）当收敛域0.5?z?2
z?2时，
(5z?7)zn F(z)?(z?0.5)(z?2)n?0，C内有极点0.5；
1x(n)?Res[F(z),0.5]?3()n
2n?0，C内有极点0.5，0，但0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，c外极点只有一个，即2，
x(n)??Res[F(z),2]??22nu(?n?1)
最后得到x(n)?3()u(n)?22u(?n?1) （3）当收敛域2?12nnz时，
(5z?7)zn F(z)?(z?0.5)(z?2)n?0，C内有极点0.5，2；
1x(n)?Res[F(z),0.5]?Res[F(z),2]?3()n?22n
2n<0，由收敛域判断，这是一个因果序列，因此x(n)=0。
或者这样分析，C内有极点0.5，2，0，但0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，c外无极点，所以x(n)=0。 最后得到
1x(n)?[3()n?22n]u(n)
217. 已知x(n)?anu(n),0?a?1，分别求：
（1）x(n)的Z变换； （2）nx(n)的Z变换； （3）a解：
?nu(?n)的z变换。
（1）X(z)?ZT[anu(n)]?n????anu(n)z?n??1,z?a
1?az?1daz?1（2）ZT[nx(n)]??zX(z)?,z?a
dz(1?az?1)2（3）ZT[a?nu(?n)]??azn?0???n?n??anzn?n?0?1,z?a?1 1?az?3z?118. 已知X(z)?，分别求： ?1?22?5z?2z（1）收敛域0.5?（2）收敛域解：
z?2对应的原序列x(n)；
z?2对应的原序列x(n)。
x(n)?12?j?cX(z)zn?1dz
F(z)?X(z)z（1）当收敛域0.5?n?1?3z?1?3?znn?1 ?z??1?22?5z?2z2(z?0.5)(z?2)z?2时，n?0，c内有极点0.5，
x(n)?Res[F(z),0.5]?0.5n?2?n,n?0,
c内有极点0.5,0,但0是一个n阶极点,改求c外极点留数,c外极点只有2,
x(n)??Res[F(z),2]?2n,
最后得到
x(n)?2?nu(n)?2nu(?n?1)?2（2（当收敛域
?n
z?2时，
n?0,c内有极点0.5,2,
x(n)?Res[F(z),0.5]?Res[F(z),2]
?3?zn?0.5?(z?2)z?22(z?0.5)(z?2)n
?0.5n?2n
n?0,c内有极点0.5,2,0,但极点0是一个n阶极点,改成求c外极点留数,可是c外没有极点,因此x(n)?0, 最后得到
x(n)?(0.5n?2n)u(n)
25. 已知网络的输入和单位脉冲响应分别为
x(n)?anu(n),h(n)?bnu(n),0?a?1,0?b?1，
试：
（1）用卷积法求网络输出y(n)； （2）用ZT法求网络输出y(n)。 解：
（1）用卷积法求y(n)
y(n)?h(n)?x(n)?nnm????bn?mu(m)an?mu(n?m)，n?0,
y(n)??am?0n?mm1?a?n?1bn?1an?1?bn?1，n?0，y(n)?0 b?a?ab?a??11?aba?bm?0n?mm最后得到
an?1?bn?1y(n)?u(n)
a?b（2）用ZT法求y(n)
X(z)?11,H(z)?
1?az?11?bz?1Y(z)?X(z)H(z)?12?j1?1?az??1?bz??1?1c
y(n)??Y(z)zn?1dz
令F(z)?Y(z)zn?1zn?1zn?1?? ?1?1(z?a)(z?b)1?az1?bz????n?0,c内有极点a,b
an?1bn?1an?1?bn?1y(n)?Res[F(z),a]?Res[F(z),b]???
a?bb?aa?b因为系统是因果系统，n?0,y(n)?0，最后得到
an?1?bn?1y(n)?u(n)
a?b28. 若序列h(n)是因果序列，其傅里叶变换的实部如下式：