HR(ejw)?求序列h(n)及其傅里叶变换H(e解：
jw1?acosw,a?1 21?a?2acosw)。
1?acosw1?0.5a(ejw?e?jw) HR(e)??22jw?jw1?a?2acosw1?a?a(e?e)jw1?0.5a(z?z?1)1?0.5a(ejw?e?jw) HR(z)??1?a2?a(z?z?1)(1?az?1)(1?az)求上式IZT，得到序列h(n)的共轭对称序列he(n)。
he(n)?2?j?n?11cHR(z)zn?1dz
F(z)?HR(z)z?0.5az2?z?0.5an?1?z ?a(z?a)(z?a?1)因为h(n)是因果序列，he(n)必定是双边序列，收敛域取：a?z?a?1。
n?1时，c内有极点a,
?0.5az2?z?0.5an?11nhe(n)?Res[F(z),a]?z(z?a)?a
z?a2?a(z?a)(z?a?1)n=0时，c内有极点a,0，
F(z)?HR(z)z所以
n?1?0.5az2?z?0.5a?1?z ?1?a(z?a)(z?a)he(n)?Res[F(z),a]?Res[F(z),0]?1
又因为
he(n)?he(?n)
所以
?1,n?0?he(n)??0.5an,n?0
?0.5a?n,n?0??1,n?0??he(n),n?0???h(n)??2he(n),n?0??an,n?0??anu(n)
?0,n?0?0,n?0????H(e)??ane?jwn?jwn?0?1 ?jw1?ae
3.2 教材第三章习题解答
1. 计算以下诸序列的N点DFT,在变换区间0?n?N?1内,序列定义为 （2）x(n)??(n)；
（4）x(n)?Rm(n),0?m?N； （6）x(n)?cos(2?nm),0?m?N； N（8）x(n)?sin(w0n)?RN(n)； （10）x(n)?nRN(n)。 解： （2）X(k)???(n)Wn?0N?1knN???(n)?1,k?0,1,?,N?1
n?0N?1（4）X(k)??Wn?0N?1knN1?W?1?WkmNkN?e?j?Nk(m?1)sin(?Nmk),k?0,1,?,N?1 m)sin(2??N1N?1jN(m?k)n1N?1?jN(m?k)n??e??e2n?02n?02?2?j(m?k)N?j(m?k)N??1?1?eN1?eN? ??2?2???j(m?k)?j(m?k)2N1?eN???1?e??1?,k?m且k?N?m??N,0?k?N?1??0,k?m或k?N?m2?N?1?jmn?jkn1jmn?2??kn（6）X(k)??cos?mn??WN??(eN?eN)eN
?N?n?0n?02N?12?2?2?（8）解法1 直接计算
x8(n)?sin(w0n)RN(n)?N?1n?01jw0ne?e?jw0nRN(n) 2j??X8(k)??x(n)WknN?jkn1N?1jw0n??e?e?jw0neN 2jn?0??2?2?2???1N?1?j（w0?N）n?j（w0?N）n?1?1?ejw0N1?ejw0N???e? ?e???2?2?j(w?k)j(w?k)2jn?0??00?2j?NN1?e?1?e?解法2 由DFT的共轭对称性求解
因为
x7(n)?ejw0nRN(n)??cos(w0n)?jsin(w0n)?RN(n)
x8(n)?sin(w0n)RN(n)?Im?x7(n)?
所以
DFT?jx8(n)??DFT?jIm?x7(n)???X70(k)
即
X8(k)??jX70(k)??j1?X7(k)?X7(N?k) 2??????1?1?ejw0N1?ejw0N1?1?ejw0N1?ejw0N?????()??()结果与解法1所得结2?2?2?2?j(w?k)j(w?(N?k)j(w?k)j(w?k)2j??2j??0000NNNN1?e1?e?1?e??1?e?果相同。此题验证了共轭对称性。 （10）解法1
knX(k)??nWNn?0N?1k?0,1,?,N?1
上式直接计算较难，可根据循环移位性质来求解X(k)。 因为 所以
x(n)?nRN(n)
x(n)?x((n?1))N?RN(n)?N?(n)?RN(n)
等式两边进行DFT得到
kX(k)?X(k)WN?N?N?(k)
故
X(k)?N[?(k)?1],k?1,2?,N?1 k1?WNN?1n?0N?1n?0当k?0时，可直接计算得出X（0）
X(0)??n?W??n?0NN(N?1)
2这样，X（k）可写成如下形式：
?N(N?1),k?0?2?X(k)??
?N?,k?1,2?,N?1k??1?WN解法2
k?0时，
X(k)??n?n?0N?1N(N?1) 2k?0时，
k2k3k(N?1)kX(k)?0?WN?2WN?3WN???(N?1)WNkn2k3k4k(N?1)kWNX(k)?0?WN?2WN?3WN???(N?2)WN?(N?1)
X(k)?WX(k)??WknNn?1N?1knNkn?(N?1)??WN?1?(N?1)??Nn?0N?1所以，
X(k)?即
?N,k?0 k1?WN?N(N?1),k?0?2? X(k)???N?,k?1,2?,N?1k??1?WN2. 已知下列X(k)，求x(n)?IDFT[X(k)];
?Nj??2e,k?m??N?j?（1）X(k)??e,k?N?m;
?2?0,其它k???Nj???2je,k?m??N?j?je,k?N?m （2）X(k)??2??0,其它k??解： （1）
2?2?1N?1?kn1?Nj?jNmnN?j?jN(N?m)n?x(n)?IDFT[X(k)]??WN??ee?ee?Nn?0N?22?
2?2??j(mn??)?1?j(Nmn??)2?Ne?e???cos(mn??),n?0,1,?N?12?N?（2）
x(n)?1N?Nj??mnN?j??(N?m)n? ?jeWN?eWN??22??2?2?1?j(Nmn??)?j(Nmn??)?2???emn??),n?0,1,?N?1 ?e??sin(2j?N?3. 长度为N=10的两个有限长序列
?n?4?1,0?n?4?1,0 x2(n)?? x1(n)??0,5?n?9?1,5?n?9??作图表示x1(n)、x2(n)和解：
、（b）、（c）所示。 x1(n)、x2(n)和y(n)?x1(n)?x2(n)分别如题3解图（a）14. 两个有限长序列x(n)和y(n)的零值区间为:
y(n)?x1(n)?x2(n)。
x(n)?0,n?0,8?n
y(n)?0,n?0,20?n对每个序列作20点DFT,即
X(k)?DFT[x(n)],k?0,1,,19
Y(k)?DFT[y(n)],k?0,1,,19如果
F(k)?X(k)?Y(k),k?0,1,,19
f(n)?IDFT[F(k)],k?0,1,,19试问在哪些点上f(n)?x(n)*y(n)，为什么？ 解：
如前所示，记f(n)?x(n)*y(n)，而f(n)?IDFT[F(k)]?x(n)?y(n)。长度为27，f(n)长度为20。已推出二者的关系为
fl(n)
f(n)?只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上，才满足
m????f(n?20m)?Rl?20(n)
f(n)?fl(n)所以
f(n)?fl(n)?x(n)?y(n),7?n?19
15. 用微处理机对实数序列作谱分析,要求谱分辨率F?50Hz，信号最高频率为1kHZ，试确定以下各参数： （1）最小记录时间Tpmin； （2）最大取样间隔Tmax； （3）最少采样点数Nmin；
（4）在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的N值。 解：
（1）已知F?50HZ
Tpmin?11??0.02s F50