9. 设计低通数字滤波器，要求通带内频率低于0.2?rad时，容许幅度误差在1dB之内；频率在0.3?到?之间的阻带衰减大于10dB；试采用巴特沃斯型模拟滤波器进行设计，用脉冲响应不变法进行转换，采样间隔T=1ms。 解：
本题要求用巴特沃斯型模拟滤波器设计，所以，由巴特沃斯滤波器的单调下降特性，数字滤波器指标描述如下：
wp?0.2?rad,ap?1dBws?0.3?rad,as?10dBwp
采用脉冲响应不变法转换，所以，相应模拟低通巴特沃斯滤波器指标为：
?0.2??1000?200?(rad/s),ap?1dBT w?s?s?0.3??1000?300?(rad/s),as?10dBT?p?（1）求滤波器阶数N及归一化系统函数Ha(p)：
N??0.1algksplg?sp
10p?1100.1?1ksp???0.1696 0.1as110?110?1?sp??s300???1.5 ?p200?lg0.1696?4.376
lg1.5N??取N=5，查表6.1的模拟滤波器系统函数的归一化低通原型为：
Ha(p)?14
(p?pk)k?0p0??0.3090?j0.9511?p?4 p1??0.8090?j0.5818?p?3
p2??1
将Ha(p)部分分式展开：
Ha(p)??k?04Ak
p?pk其中，系数为：
A0??0.1382?j0.4253, A1??0.8091?j1.1135,
A2?1.8947, A3??0.8091?j1.1135, A4??0.1382?j0.4253
（2）去归一化求得相应的模拟滤波器系统函数Ha(s)。
我们希望阻带指标刚好，让通带指标留有富裕量，所以按(6.2.18)式求3dB截止频率?c。
?c??s(100.1as?1)?12N?300?(10?1)?110?756.566(rad/s)
44?cAkBsHa(s)?Ha(p)p?????k
?ck?0s??cpkk?0s?sk其中Bk??cAk,sk??cpk。
（3）用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成数字滤波器系统函数H(z)：
H(z)????k?04Bk,T?1ms?10?3s skT?1zk?01?e
4Bk1?e10?3skz?1我们知道，脉冲响应不变法的主要缺点是存在频率混叠失真，设计的滤波器阻带指标变差。另外，由该题的设计过程可见，当N较大时，部分分式展开求解系数Ak或Bk相当困难，所以实际工作中用得很少，主要采用双线性变换法设计。