Ha(p)?1??2N?1其中，极点
N?(p?pk)1.738614
(p?pk)k?1k?1pk由(6.2.38)式求出如下：
pk??ch(?)sin((2k?1)?(2k?1)?)?jch(?)cos(),k?1,2,3,4
2N2N1111??Arsh()?Arsh()?0.5580
N?40.2171p1??ch(0.5580)sin()?jch(0.5580)cos()??0.4438?j1.0715
883?3?p2??ch(0.5580)sin()?jch(0.5580)cos()??1.0715?j0.4438
885?5?p3??ch(0.5580)sin()?jch(0.5580)cos()??1.0715?j0.4438
887?7?p4??ch(0.5580)sin()?jch(0.5580)cos()??0.4438?j1.0715
88（3）将Ha(p)去归一化，求得实际滤波器系统函数Ha(s)
??Ha(s)?Ha(p)p?s ?c?p41.7368?(s??ppk)k?14
???p41.7368?(s?sk)k?14
其中sk??ppk?6??103pk,k?1,2,3,4，因为p4?p?1,p3?p?2，所以s4?s?1,s3?s?2。将两对共轭极点对应
7.2687?1016(s?2Re[s1]s?s1)(s?2Re[s2]s?s2)2222的因子相乘，得到分母为二阶因子的形式，其系数全为实数。
Ha(s)?
7.2687?1016?2(s?1.6731?104s?4.7791?108)(s2?4.0394?104s?4.7790?108)
4. 已知模拟滤波器的传输函数Ha(s)为： (1)Ha(s)?s?a；
(s?a)2?b2b。式中，a,b为常数，设Ha(s)因果稳定，试采用脉冲响应不变法，分别将其转换成数字滤波22(s?a)?b(2)Ha(s)?器H(z)。
解：
该题所给Ha(s)正是模拟滤波器二阶基本节的两种典型形式。所以，求解该题具有代表性，解该题的过程，就是导出这两种典型形式的Ha(s)的脉冲响应不变法转换公式，设采样周期为T。 （1）Ha(s)?s?a
(s?a)2?b2Ha(s)的极点为：
s1??a?jb，s2??a?jb
将Ha(s)部分分式展开（用待定系数法）：
Ha(s)?A1A2s?a ??22(s?a)?bs?s1s?s2A1(s?s2)?A2(s?s1)(A1?A2)s?A1s2?A2s1? 2222(s?a)?b(s?a)?b?比较分子各项系数可知：
A、B应满足方程：
?A1?A2?1 ??As?As?a?1221解之得
A1?所以
11,A2? 22H(z)??Ak0.50.5??skT?1z1?e(?a?jb)Tz?11?e(?a?jb)Tz?1k?11?eH(z)??221122Ha(s)?? s?(?a?jb)s?(?a?jb)Ak0.50.5 ??skT?1(?a?jb)T?1(?a?jb)T?11?ez1?ez1?ezk?1按照题目要求，上面的H(z)表达式就可作为该题的答案。但在工程实际中，一般用无复数乘法器的二阶基本结构实现。由于两个极点共轭对称，所以将H(z)的两项通分并化简整理，可得
1?z?1e?aTcos(bT) H(z)??aT?1?2aT?21?2ecos(bT)z?ez用脉冲响应不变法转换成数字滤波器时，直接套用上面的公式即可，且对应结构图中无复数乘法器，便于工程实际中实现。 （2） Ha(s)?b 22(s?a)?b
Ha(s)的极点为：
s1??a?jb，s2??a?jb
将Ha(s)部分分式展开：
11j?j22Ha(s)?? s?(?a?jb)s?(?a?jb)H(z)?通分并化简整理得
0.5j1?e(?a?jb)Tz?1??0.5j
1?e(?a?jb)Tz?1z?1e?aTsin(bT) H(z)??aT?1?2aT?21?2ecos(bT)z?ez5. 已知模拟滤波器的传输函数为： （1）Ha(s)?1；
s2?s?11试用脉冲响应不变法和双线性变换法分别将其转换为数字滤波器，设T=2s。 22s?3s?1（2）Ha(s)?解：
（1）用脉冲响应不变法
①Ha(s)?1
s2?s?1方法1 直接按脉冲响应不变法设计公式，Ha(s)的极点为：
s1??0.5?j33，s2??0.5?j 22333)2j?333)2?jHa(s)?
s?(?0.5?js?(?0.5?j?jH(z)?1?e代入T=2s
33z?1j?1?e33z?13(?0.5?j)T23(?0.5?j)T2 ?jH(z)?1?e33zj?1?e33z(?1?j3)?1(?1?j3)?1
23z?1e?1sin3 ???1?1?2?231?2zecos3?ez方法2 直接套用4题(2)所得公式，为了套用公式，先对Ha(s)的分母配方，将Ha(s)化成4题中的标准形式：
Ha(s)?由于
b?c,c为一常数，
(s?a)2?b21313s2?s?1?(s?)2??(s?)2?()2
2422所以
Ha(s)?1s?2s?s?13/213(s?)2?()222?23 3对比可知，a?13,b?，套用公式得 2223z?1e?aTsin(bT) H(z)???aT?1?2aT?231?2ecos(bT)z?ezT=223z?1e?1sin3 ??31?2z?1e?1cos3?e?2z?2② Ha(s)?11-1=+ 22s?3s?1s+0.5s+1H(z)= =或通分合并两项得
11-e-0.5Tz+-1-1
1-e-Tz-1T=21-1+
1-e-1z-11-e-2z-1(e-1-e-2)z-1 H(z)=-1-2-1-3?21-(e+e)z+ez（2）用双线性变换法
① H(z)?Ha(s) 21?z?1s?,T?2?1T1?z?11?z?121?z?1()??1?1?11?z1?z
(1?z?1)2 ??12?1?1?12(1?z)?(1?z)(1?z)?(1?z)1?2z?1?z?2?
3?z?2② H(z)?Ha(s) 21?z?1s?,T?2T1?z?1?11?z?121?z?12()?3?11?z?11?z?1
(1?z?1)2 ??12?2?122(1?z)?3(1?z)?(1?z)1?2z?1?z?2?
6?2z?17. 假设某模拟滤波器Ha(s)是一个低通滤波器，又知H(z)?Ha(s)种情况？并说明原因。 （1）w?0 (低通)； （2）w??（高通）；
（3）除0或?外的某一频率（带通）。 解：
按题意可写出
s?z?1z?1，数字滤波器H(z)的通带中心位于下面的哪
H(z)?Ha(s)故
z?1
s?z?1wz?1e?12?jcotw s?j????jwz?1z?ejwejw?12sin2jwcos即
??cotw 2原模拟低通滤波器以??0为通带中心，由上式可知，??0时，对应于w??，故答案为（2）。