缩放数列
30．对于正项数列{an}，若成立是真命题．
an?1?q对一切n?N*恒成立，则an?a1?qn?1对n?N*也恒an1?(3c)n，求证：数列{an}前n项和Sn?；
1?3ca1（1）若a1?1，且n?1?3(cc?,c?1)an?0，
an3（2）若x1?4，xn?
30．（1）?222xn?1?3(n?2,n?N*)，求证：3?()n?1?xn?3?()n?1．
33an?1n?1?3c,?an?a1??3c?， 2分 anan??3c?n?1?a2?3c,a3?9c2,Sn?a1?a2?n， 4分
n?1?an?1?3c?9c2??3c?， 6分
1??3c?； 7分 ?Sn?1?3c(2)xn?3? ?xn?3?2xn?1?3?3??2xn?1?3?3??2xn?1?3?32xn?1?3?3??2xn?1?32xn?1?3?3， 10分
2xn?1?3， 11分 3n?1?2??xn?3?x1?3????3??2??xn?3????3??2??3????3?
n?1n?1， 12分
13分
n?1?2??xn?3????3?。 14分
31．设f(x)是定义在D上的函数，若对任何实数??(0,1)以及D中的任意两数x1、x2，恒有f??x1?(1??)x2???f(x1)?(1??)f(x2)，则称f(x)为定义在D上的C函数．
2（1）证明函数f1(x)?x是定义域上的C函数；
1(x?0)是否为定义域上的C函数，请说明理由； x（3）若f(x)是定义域为R的函数，且最小正周期为T，试证明f(x)不是R上的C函数．
（2）判断函数f2(x)?
31．（1）证明如下：
对任意实数x1,x2及???0,1?，
有f??x1??1???x2???f?x1???1???f?x2????x1??1???x2???x12??1???x22 2分
2????1???x12???1???x22?2??1???x1x2????1????x1?x2??0， 4分
即f2??x??1???x???f?x???1???f?x?， 5分
1212∴f1?x??x2是C函数； 6分 （2）f2?x??1?x?0?不是C函数， 7分 x说明如下(举反例)： 取x1??3，x2??1，??则f121， 212??x??1???x???f?x???1???f?x?
?f??2??即f111111f??3??f??1??????0， 22262212??x??1???x???f?x???1???f?x?，
1?x?0?不是C函数； 10分 x∴f2?x??（3）假设f?x?是R上的C函数， 11分
若存在m?n且m,n??0,T?，使得f?m??f?n?。 （i）若f?m??f?n?， 记x1?m，x2?m?T，??1?那么f?n??f12n?m，则0???1，且n??x1??1???x2， T12??x??1???x???f?x???1???f?x?
??f?m???1???f?m?T??f?m?，
这与f?m??f?n?矛盾； 13分 （ii）若f?m??f?n?，
记x1?n，x2?n?T，??1?n?m，同理也可得到矛盾； 14分 T∴f?x?在?0,T?上是常数函数， 15分 又因为f?x?是周期为T的函数，
所以f?x?在R上是常数函数，这与f?x?的最小正周期为T矛盾. 16分
所以f?x?不是R上的C函数。
线性规划，两线联立好
32.（本题满分12分，第1小题5分，第2小题7分） 已知?ABC的三个顶点分别为A??1,0?、B?1,0?、C?0,1?.
（1）动点P在?ABC内部或边界上，且点P到三边AC、AB、BC的距离一次成等差数列，求点P的轨迹方程；
（2）若0?a?b，直线l：y?ax?b将?ABC分割为面积相等的两部分，求实数b的取值范围.
32．(满分12分，第1小题5分、第2小题7分) 解：（1）法1：设点P的坐标为?x,y?，则由题意可知：
yC?0,1?xA??1,0?OB?1,0?x?y?12?x?y?12?2y，由于x?y?1?0，x?y?1?0，y?0，?2分
所以x?y?1x?y?1??2y，???????????????????4分 22化简可得：y?2?1（2?2?x?2?2）??????????????5分 法2：设点P到三边AC,AB,BC的距离分别为d1,d2,d3，其中d2?y，??.所以 |AB|?2|AC|?2|BC|?2???于是点P的轨迹方程为y?2?1（
?y?2?1???4分 22d1?y?d3?1222?2?x?2?2）????????5分 d1?d3?2y（2）由题意知道0?a?b?1，
情况（1）b?a.
直线l：y?a(x?1)，过定点A??1,0?，此时图像如右下： 由平面几何知识可知，直线l过三角形的重心?0,?，
??1?3?1从而b?a?.??????????????????7分
3b??1，a故直线l与两边BC,AC分别相交，设其交点分别为D,E，则直线l与三角形两边的两个交点坐标D?x1,y1?、E?x2,y2?应该
情况（2）b?a.此时图像如右下：令y?0得x???y?ax?b满足方程组：?. ????y?x?1??x?y?1??0因此，x1、x2是一元二次方程：??a?1?x??b?1????a?1?x??b?1???0的两个根.
即a?1x?2a(b?1)x?(b?1)?0, 由韦达定理得：x1x2?2?22?b?1??2a2?1而小三角形与原三角形面积比为?x1x2，即x1x2??.
12?b?1?所以
2211?a1?a2亦即b?1?. ??b?1???2a?12，22，
1再代入条件b?a，解得0?a?， 32??从而得到b??1?2,1?.???????????????????????11分
?23?????综合上述（1）（2）得：b??1?2,1?.?????????????????12分
?23??解法2：由题意知道0?a?b?1 情况（1）b?a.
直线l的方程为：y?a(x?1)，过定点A??1,0?， 由平面几何知识可知，直线l应该过三角形的重心?0,?， 从而b?a???1?3?1.??????????????????????????7分 3情况（2）b?a.