2012高考数学知识考点精析
第一讲 集合的性质及其运算
1、研究集合问题，一定要抓住集合的代表元素，如：
{x|y?lgx}={x/x?0},{y|y?lgx}={y/y?R},{(x,y)|y?lgx}各不相同。
元素与集合的关系用“∈或?”，集合与集合的关系用“?，?，?，?，?”
2、任何一个集合是它本身的一个子集，即A?A。规定空集是任何集合的子集，即??A，???。如果A?B，且B?A，则A＝B。如果A?B且B中至少有一个元素不在A中，则A叫B的真子集，记作A?B。空集是任何非空集合的真子集。
3、含n个元素的集合A的子集有2n个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个。 集合A有m个元素，集合B有n个元素，则从A到B的映射有nm个。
4、重要性质：（1）A∪A＝A，A∩A＝A，A∩?＝?，A∪?＝A， A∩CUA＝?，A∪CUA＝U （2）A∩B?A，A∩B?B，A?A∪B，B?A∪B，（3）CU（A∩B）＝（CUA）∪（CUB） ，CU（A∪B）＝（CUA）∩（CUB）（4）A∩B＝A?A?B，A∪B＝A? B?A
第二讲映射与函数概念、函数的定义域和图象 一、映射、函数的有关概念：
1、映射的定义：设A，B是两个集合，如果按照某种对应关系f,对集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应叫做集合A到集合B的映射，记作：f：A→B， 2、像与原像：如果给定一个集合A到集合B的映射，那么，和集合A中的a对应的集合B中的b叫做a的像，a叫做b的原像。
3、映射f：A→B的特征：（1）存在性：集合A中任一元素在集合B中都有像，（2）惟一性：集合A中的任一元素在集合B中的像只有一个，（3）方向性：从A到B的映射与从B到A的映射一般是不一样的（4）集合B中的元素在集合A中不一定有原象，若集合B中元素在集合A中有原像，原像不一定惟一。 4、函数：（1）定义（传统）：如果在某变化过程中有两个变量x,y并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。（2）函数的集合定义：设A，B都是非空的数的集合，f：x→y是从A到B的映射，那么，从A到B的f：A→B，叫做A到B的函数，y=f(x),其中x∈A,y∈B,原像集合A叫做函数f(x)的定义域，像集合C叫做函数f(x)的值域。像集合C?B
5、构成函数的三要素：定义域，值域，对应法则。值域可由定义域唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，值域一定相同，它们可以视为同一函数。 二、求函数定义域的方法
1、求函数定义域的常用方法有：（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等。（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围。（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围。（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f(u),u=g(x)，那么y=f[g(x)]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f(x)的定义域是x∈M,g(x) 的定义域是x∈N，求y=f[g(x)]的定义
域时，则只需求满足??g(x)?M?x?N的x的集合。设y=f[g(x)]的定义域为P，则P?N。
第三讲函数的单调性、周期性、奇偶性、反函数
一、函数的单调性：
1、定义：对于给定区间D上的函数f(x)，若对于任意x1,x2∈D,当x1
f?x1??f?x2?x1?x2?0??0??增?减? 任意x1,x2∈D
2、函数单调性的证明方法：通常根据定义，其步骤是：1）任取x1，x2∈D，且x1 f?x2?f?x1??f?x1??0?，并变形，（4）判定f(x1)－ f(x2)的符号，或比较 f?x2?f?x1?与1的大小， 4）根据定义作出结论。 有时也根据导数。x?D,f/?x??0?f?x?在D上递增，f/?x??0?f?x?在D上递减。（注：逆命 题不成立） 3、常见函数的单调性： （1） 一次函数y=kx+b（k≠0） 1）当k>0时，f(x)在R上是增函数。2）当k<0时，f(x)在R上是减函 数。 （2） 二次函数y=ax2+bx+c 1）当a>o时，函数f(x)的图象开口向上，在（－∞，－ b2ab2a）上是减函 b数，在[－，＋∞）上是增函数，2) 当a<0时，函数f(x)的图象开口向下，在（－∞，－ b2a）上是增 函数，在[－ 2a，＋∞）是减函数。 kx（3） 反比例函数y= ?k?0? 1) 当k>0时，f(x)在（－∞，0）与（0，＋∞）上都是减函数，2) 当k<0 时，f(x)在（－∞,0）与（0，＋∞）上都是增函数但要注意在（－∞，0）∪（0，＋∞）上f(x)没有单调性。 （4） 对钩函数：y?ax?b?a?0,b?0,增区间为??,?????x?b???,?a??b?,???， ?a??减区间为???b??,0?,?0,??a??b??图象如右： a? 可采用导数法判断。 （5）指数函数y?a,a???单调递增，0?a??时，单调递减 x（6）对数函数y?logax,a?1时单调递增,0?a??时单调递减。 （7）三角函数： ???y=sinx的增区间是?-?2k?,?2k?2?2???y=tanx的增区间是?-?k?,?k?2?2??,减区间是?3????2k?,?2k??22???k?Z?y=cosx的增区间是?-??2k?,2k??的减区间是?2k?,??2k??,k?Z??,cotx的减区间是?k?,??k?? ?二、函数的奇偶性与周期性： 1、函数的奇偶性定义：对于函数f（x）的定义域内的每一个值x，都有f（-x）=f（x），那么称f（x）为偶函数，如果对每一个值x都有f（-x）=-f（x），则称f（x）为奇函数。 2、奇、偶函数的性质：（1）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。（2）奇函数在关于原点的对称区间上的单调性相同，偶函数在关于原点的对称区间上的单调性相反。 （3）若奇函数有对称轴x=a,则它有周期T=4a,偶函数有对称轴x=a,则它有周期T=2a, （4）若奇函数在x=0处有定义则f(0)=0 3、函数的奇、偶性类型： （1）奇函数：如?1?y?kx,?2?y?2kx,?3?y?x2n?1?n?N??4?y?sinx,?5?y?tanx, 2n（2）偶函数：如?1?y?x?c,?2?y?x,?3?y?cosx,?4?y?xsinx,?5?y?x?n?z? ??（3）非奇非偶函数：如 ?1?y?kx?c?kc?0??2?y?ax2?bx?ab?0??3?y?sin?x??4?y?x?1,?5?y?a,?a?0,a?1?x???3? （4）既是奇函数又是偶函数：仅有一类：在定义域关于原点的对称区间上恒有f（x）=0. 4、定义：对于函数f（x）的定义域内的每个值x都有f（x+T）=f（x）（T?0）,则称f（x）为周期函数，T为它的一个周期。若T为f（x）的周期，则kT也是f（x）的周期，k为任一非0整数。 5、若f(x)满足f(x?a)?f(x?b)，那么f(x)是周期函数，一个周期是 T＝｜a?b｜； 三、反函数： 1、定义：设式子y=f(x)表示y是x的函数，定义域为A，值域为C，从式子y=f(x)中解出x，得到式子x=?(y),如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=?(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x=?(y)就表示y是x的函数，这样的函数，叫做y=f(x)的反函数，记作x=f?1(y),即x=?(y)＝f?1(y)，一般对调x=f?1(y)中的字母x,y,把它改写成y =f?1(x) 2、求反函数的步骤是：（1）将y=f(x)看成方程，解出x=f?1(y)（2）将x,y互换得y =f?1(x) （3）写出反函数的定义域，（可根据原函数的定义域或反函数的解析式确定）（4）分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数再合成。 3、反函数的一些性质：（1）反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，称为互调性，（2）定义域上的单调函数必有反函数，且单调性相同（即函数与其反函数在各自的定义域上的单调性相同），对 连续函数而言，只有单调函数才有反函数，但非连续的非单调函数也可能有反函数，（3）函数y=f(x)的图象与其反函数y =f?1(x)的图象关于直线y=x对称，（4）函数y=f(x)的图象与其反函数y =f?1(x)的图象的交点，当它们是递增时，交点在直线y=x上。当它们递减时，交点可以不在直线y=x上， ?1??11?如y??与y?logx互为反函数且有一个交点是1??，?，它不在直线y=x上 ?16??24?16x第四讲：函数图象的对称性与变换 一、 两个函数的图象的对称性： 1、y=f（x）与y=-f（x）关于x轴对称。 2、y=f（x）与y=f（－x）关于y轴对称。 3、 y=f（x）与y=－f（－x）关于原点对称。 4、y=f（x）与y=f?1（x）关于直线y=x对称,（或y=f（x）与x=f（y）关于直线y=x对称）。 5、y=f（x）与y=f（2a－x）｛注：y=f（a+x）与y=f（a－x）关于直线x=0对称｝关于直线x=a对称。 6、y=f（x）与y=－f（2a－x）+2b关于点（a,b）对称. 二、 一个函数的图象的对称性： 1、关于直线x=a对称时，f（x）=f（2a－x）或f（a－x）=f（a+x）,特例：a=0时，关于y轴对称，此时 f（x）=f（－x）为偶函数。 2、y=f（x）关于（a,b）对称时,f（x）=2b－f（2a－x），特别a=b=0时， f（x）=－f（－x），即f（x）关于原点对称，f（x）为奇函数。 3、y=f（x）关于直线y=x+b对称时,由上面知y=f（x）关于直线y=x+b对称的函数的解析式是y=f?1（x+b）+b。它与y=f（x）应是同一函数，所以：f（x）＝f?1（x+b）+b。特别当b＝0时，f（x）＝f?1（x），即一个函数关于直线y=x对称时，它的反函数就是它本身。 4、类似4有y=f（x）关于直线y=－x+b对称时, f（x）＝b－f?1（b－x）。特别当b＝0时，f（x）＝－f?1（－x）, f（x）关于直线y=－x对称. 5、若f(a+x)=f(b-x)，则f(x)的图像关于直线x?三：图象平移与伸缩变换、翻折变换。 1、平移变换（向量平移法则）：y=f（x）按a＝（h,k）平移得y=f（x－h）+k,即F（x,y）=0按a＝（h,k）平移得F（x－h,y－k）=0,当m>0时,向右平移，m<0时,向左平移。当n>0时,向上平移，n<0时向下平移。对于“从y=f（x）到y=f（x－h）+k”是“左加右减，上加下减”，对于平移向量“a＝（h,k）”是“左负右正，上正下负”。 2、伸缩变换：将y=f（x）的横坐标变为原来的a倍，纵坐标变为原来的m倍，得到y?mf?/??x/??x?ax/y?mf?即y?f?x??/? a????y?my????????????????a?b2对称， ?x?? a??3、翻折变换：（1）由y=f（x）得到y=|f（x）|，就是把y=f（x）的图象在x轴下方的部分作关于x轴对称的图象，即把x轴下方的部分翻到x轴上方，而原来x轴上方的部分不变。 (2) 由y=f（x）得到y=f（|x|），就是把y=f（x）的图象在y轴右边的部分作关于y轴对称的图象，即把y轴右边的部分翻到y轴的左边，而原来y轴左边的部分去掉，右边的部分不变。 第五讲 指数函数、对数函数与幂函数 一、指数： 1、n次方根的定义：如果一个数的n次方a(n>1,n∈N?)那么这个数叫做a的n次方根，即xn=a,则x叫做a的n次方根(n>1,n∈N?)。 2、n次方根的性质：（1）0的n次方根是0。即n0＝0(n>1,n∈N?)，（2）(na)n＝a(n∈N?) (3)当n为奇数时，a＝a, 当n为偶数时, mnnna＝|a| ?n3、分数指数幂的定义：（1）a（2）a?mnn?nam?a?0,m,n?N?,n?1 ??1m?1nanam?a?0,m,n?N（3）0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有,n?1?， 意义。 二、指数函数： 1、定义：形如y=ax（a>0,且a≠1）的函数叫做指数函数。 2、指数函数y=ax（a>0,且a≠1）的图象和性质： 图象 a>1 0 n由定义知负数和0没有对数。通常以10为底的对数叫做常用对数，记做lgN?log10N。以无理数e＝