的公共点都在同一条直线上。
(2)两个平面平行的判定：1)一个如果平面内有两条相交直线和另一个平面平行，则这两个平面平行。简称为“线面平行，则面面平行”，2)推论：如果平面内一个有两条相交直线和另一个平面内两条相交直线平行，那么这两个平面平行。3)垂直于同一条直线的两个平面平行。
两个平面平行的性质定理：1)如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 2)两个平行平面之间的距离处处相等，夹在两个平行平面之间的平行线段也相等。 3)如果两个平面平行，那么一个平面内的所有直线都平行于另一个平面。
(3) 两个平面垂直的判定：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
两个平面垂直的性质定理：1)如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。2)如果两个平面垂直，那么从一个平面内一点作另一个平面的垂线必在第一个平面内。
9、三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。
10、直线和平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。特别当一条直线和平面垂直时，就说直线与平面所成的角是直角，当一条直线在平面内或和这个平面平行时，我们规定直线和平面所成的角为0°，所以直线和平面所成的角的范围是0,?????2??
利用法向量可处理线面角问题
设 ?为直线l与平面?所成的角，?为直线l的方向向量v与平面?的法向量n之间的夹角，则有
???2??（图1）或???2??（图2）
图1 图2
vnv
αθωlnθαω
l
11、最小角定理：平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角。设AB是平面ａ的一条斜线，A为斜足，直线m是平面ａ内任一直线，AB′是AB在平面ａ内?为AB和m所成的角，?1为AB和射影所成的角，?2射影AB′和m所成的角，的射影。则cos?=cos?1cos?2
重要应用：空间两条异面直线L1与L2所成的角为?≠都是?，这样的直线L可作多少条？
?2，过空间一定点P作直线L与L1，L2所成的角
B分析：（1）若?∈（0，?/2），则这样的直线L有0条
AmB'
（2）若?＝?/2，则这样的直线有1条 （3）若?∈（?/2，（4）若?＝
???22???2），则这样的直线L有2条
，则这样的直线L有3条 ，?2（5）若?∈（（6）若?＝
?2???），则这样的直线L有4条
，则这样的直线L有1条
12、二面角：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面， 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角，这条直线叫做二面角的棱， 每个半平面叫做二面角的面，棱为l，两个面分别为?，?的二面角记为?-l-?,
一个平面垂直于二面角?-l-?的棱，且与两个半平面的交线分别是射线OA，OB，O为垂足，则∠AOB叫做二面角?-l-?,的平面角。
一个二面角的大小可用它的平面角的大小来衡量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。二面角大小的取值范围是［0，180°］
计算二面角的方法：（1）定义法(常根据三垂线定理先作平面角即自二面角的一个面上一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线，，再解直角三角形)。（2）射影面积法，（3）有平面角向量法(常用基向量法)，(4)法向量法(常用坐标法)：?或?－? 利用法向量可处理二面角问题
设 n1,n2分别为平面?,?的法向量，二面角??l??的大小为?，向量 n1,n2的夹角为?，则有?????（图3）或 ???（图4）
αnnωnαθω
lθβlβn图3 图4
第九讲 直线与方程
1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，如果把x轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l重合时所转的最小正角记为?，那么?就叫做直线的倾斜角。当直线l与x轴重合
或平行时，规定倾斜角为0。（2）直线的倾斜角的范围?0,??。（3）在直线的倾斜角的定义中抓住三个重要条件：“逆时针旋转、与直线l重合、最小正角”。 2、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示，即k＝tan?(?≠90°).（2）倾斜角为90°的直线没有斜率。（3）经过两点P1（x1, x2）,P2 (y1,y2)的直线的斜率公式为k?y1?y2x1?x2?x1?x2?
3、直线方程的五种形式：（1）点斜式：已知直线过点（x?,y?）斜率为k，则直线方程为：y-y?=k（x-x?）,它不包括垂直于x轴的直线。（2）斜截式：已知直线在y轴上的截距为b和斜率k，则直线方程为：y=kx+b,它不包括垂直于x轴的直线。（3）两点式：已知直线经过（x1,y1）,(x2,y2)两点，则直线方程为：
y?y1y2?y1?x?x1x2?x1xa?yb?1，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。
，它不包括垂直于坐标轴（包括x,y轴）的直线。（4）截距式：已知直线在x轴和y
轴上的截距为a,b,则直线方程为：
（5）一般式：任何直线均可写成：Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的形式。
在求直线方程时，要注意斜率是否存在，利用截距式时，不能忽视截距为0的情形，同时要区分“截距”和“距离”。“截距”不是距离，可正可负可为0。
4、点与直线的位置关系：（1）若点P（x?,y?）在直线上，则Ax?+By?+C=0.(2) 若点P（x?,y?）不在直线上，则Ax?+By?+C≠0，此时点P（x?,y?）直线的距离d=
Ax0?By0?CA?B22，
(3)由此可得，两平行线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0，间的距离为d=
C1?C2A?B22
5、直线与直线的位置关系：（1）斜率存在的两直线：l1: y=k1x+b1, l2：y=k2x+b2，有若l1∥l2? k1＝k2，且b1≠b2，若l1⊥l2，? k1 k2＝－1，若l1与l2相交? k1≠k2，若l1与l2重合? k1＝k2，b1＝b
2。（2）一般的两直线：l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0，有若l1∥l2? A1 B2- A2 B12＝0，B1C2-B2C1≠0, (或A1C2－A2C1≠0)，若l1⊥l2，?A1A2+B1B=0，若l1与l2相交?
A1 B2- A2 B1≠0，若l1与l2重合? A1 B2- A2 B1＝0，且B1C2-B2C1＝0,且A1C2－A2C1＝0
???0,?6、到角和夹角公式：（1）l1到l2：指直线l1绕着交点按逆时针方向转到和直线l2重合所转的角?，
?且tan?=
k2?k11?k1k2( k1 k2≠-1).（2）l1与l2的夹角?,???0,?????2?且tan?=︱
k2?k11?k1k2︱( k1 k2≠-1)。
7、直线方程的参数形式：
?x?x0?tcos?过点P?x0,y0?且倾斜角为?的直线的参数方程是?,y?y?tsin?0?t表示点Q?x,y?与点P?x0,y0?间的距离，即t=PQ。?x?x0?at过点P?x0,y0?的直线的参数方程是??a,b为常数，t为参数?,?y?y0?btt表示点Q?x,y?与点P?x0,y0?间的距离的a?b倍，即t=a?b2222
PQ。直线的参数方程常用来解决过定点的直线与圆锥曲线相交的问题。 8、直线的极坐标方程。
?1?过极点且倾斜角为?0的直线方程：?=?0，?2?过点?a,0?且垂直于极轴的直线方程：?cos????3?过点?b,?2?a,??且平行于极轴的直线方程：?sin??b,?
?4?过点??0，?0?且与极轴成?角的直线方程：?sin???????0sin????0?第十讲 圆与方程
1、圆的方程的四种形式：（1）圆的标准方程：?x?a???y?b??r,圆心是?a,b?,半径是r，特别当
222圆心是（0,0），半径为r
时，x2?y?2r，（2）圆的一般方程：
E??D2222x?y?Dx?Ey?F?0,?1?当D＋E－4F?0时，表示圆心在?－，－?
22??半径为12E??D22D?E?4F的圆。?2?当D2?E2?4F＝0时，表示点?－，－?22? ??0时，不表示任何图形。?x?a?rcos??y?b?rsin??3?当D2?E2?4F（3）圆的参数方程：圆心在（a,b），半径为r的圆的参数方程是??x?rcos??y?rsin???为参数?
特别当圆心是原点时，?（4）
??为参数，r为半径?
以A?x1,y1?,B?x2,y2?为直径端点的圆的方程是：?x?x1??x?x2???y?y1??y?y2??0
2、
圆的切线方程：过圆x?y?r上一点M?x0,y0?的切线方程是x0x+y0y=r，2222过圆?x-a?+?y-b?=r上一点M?x0,y0?的切线方程是?x0?a??x?a???y0?b??y?b??r,2222
从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件来求。过两切点的直线方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程。 3、
圆的弦长问题常用弦心距d，弦长的一半?1?22r?d??a?，?2?有时也用一般的弦长公式：AB?1?k2212a及圆的半径r所构成的直角三角形来解：
2x1?x2?1?k?a?1?1k2y1?y24、
圆与圆的位置关系：已知两圆的圆心分别为O1，O2，半径分别为r1,r2?1?当O1O2?3?当r1－r2?r1?r2时，两圆外离，?2?当O1O2＝r1?r2时，两圆外切，
?O1O2?r1?r2时，两圆相交，?4?当O1O2＝r1－r2时，两圆内切?r1－r2时，两圆内含。?5?当0?O1O25、
公切线的条数分别为4，3,2，1。圆的公切线方程与公共弦所在的直线方程：圆C1：x?y?D1x?E1y?F1?0,圆C2：x?y?D2x?E2y?F2?0它们的内公切线方程或公共弦所在的直线方程为：2222
?D1－D2?x??E1?E2?y?F1?F2?0第十一讲算法初步
1、 算法的概念：在数学中，算法通常是指按照一定规则解决“某一类”问题的“明确”和“有限”的步
骤。它有下面的特点：通用性(适用于某一类问题的所有个体，而不是只用来解决一个具体问题)，可行
性(算法应有明确的步骤一步一步地引导计算机进行并且能够得到最终结果)，明确性(算法的每一个步骤必须明确___或者由规则直接确定，或者由上一步的结果确定)，有限性(算法应由有限步组成)。 2、 程序框图又称“流程图”，是一种用程序框、流程线、及文字说明来表示算法的图形。基本的程序框有：
终端框(起止框)，输入、输出框，处理框(执行框)，判断框，其中起止框是任何程序框图中不可缺少的。 3、 算法的三种基本的逻辑结构。任何算法都是由顺序结构、条件结构、循环结构三种基本的逻辑结构组成。顺序结构是由若干个依次执行的步骤所组成，是任何一个算法都离不开的基本结构。一个算法中，
算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，条件结构就是处理这各过程的结构。一些算法中经常会出现从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情形，这就是循环结构，反复执行的步骤称为循环体。循环结构分为当型循环结构(满足条件循环)和直到型循环结构(不满足条件循环)。循环结构中一定包含条件结构。
4、 任何一种程序都包含五种基本的算法语句，它们是输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环
语句。输入语句的一般格式是INPUT“提示内容”，变量。其作用是实现算法的输入信息功能，输出语句的一般格式是：PRINT“提示内容”，表达式。其作用是实现算法的输出结果功能。赋值语句的一般格式是：变量=表达式，其作用是将表达式所代表的值赋给变量。
IF 条件 THEN 语句体1 ELSE 语句体2 END IF