（2）有两解时，a?23,4，（3）无解时，a?23 余弦定理在解三角形中的应用：（1）已知两边和夹角，（2）已知三边。
第十七讲不等式
一、不等式的性质
（1.）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：a＞b,c＞d ，则 a+c＞b+d, （a>b ,c
b
,(ab<0 则a>b?1a?1b)
二、均值不等式： 算术平均数
与几何平均数常用公式及变形：（1）
?a2?b2?a?b?2?????a,b?R?2?2???a?b??ab?a,b?R???222a?b?2ab?a,b?R???,22?或ab?a?b?2?2a?b???ab??a,b?R??????2??21a?1b333
?2aba?b?ab?a?b2?a?b222?或a?b?2?a?b22??（2）a?b?c?3abc?a,b,c?R??a?b?c?33abc 注、对于两个正数x,y，若已知xy,x+y,x2?y2,1x?1,1yxy中的某一个为定值，可求出其余各个的最值，如：
（1）当xy＝P（定值），那么当x=y时，和x+y有最小值2P，x?y?2p,12221x?1y?2pp,
（2）x+y=S(定值)，那么当x=y时，积xy有最大值S
4x?y?22S22,1x?1y?4S,1xy?1S2?4,
（3）已知x2+y2=p,则x+y有最大值为2p,xy?22p1p112,??,? 2xypxyp应用基本的不等式解题时，注意创设一个应用基本不等式的情境及使等号成立的条件，即“一正、二定、三相等”
三、不等式的证明：（1）求差比较法：（2）求商比较法：要证a﹥b，且b﹥0,只要证
ab﹥1.（3）、综合法：
利用某些已知的不等式或已证过的不等式或不等式的性质推导出所要证的不等式成立，这种证明方法叫综合法，即由因导果。利用均值不等式的有关公式最为常见。（4）分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，如果能肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立，这种证明方法叫分析法，即执果索因。用分析法证明要注意格式：“若A成立，则B成立”的模式是：欲证B为真，只需证C为真，只需证D为真?最后得出A或已知的性质、公理、定理。从而得出B为真。也可使用?简化叙述。即B?C?D???A或已知的性质、公理、定理。切不可使用B?C?D??A。（5）放缩法（如利用真分数或假分数的性质、及利用均值不等式进行放缩）
常用放缩技巧：
1n?1n?11?1n(n?1)12k?1n2?1n(n?1)1?1n?1?1n
k?1?k?k?1?k??k?1?k?k?k?1，n?n?1?!?1n!?1?n?1?!
（6）利用函数的单调性（本质仍然是放缩法），（7）反证法（对于“至多”“至少”问题、存在性问题、否定形式的命题等，总之“正难则反”），（8）换元法（形如：x2?y2?a,常设x?（9）判别式法（二次式的含参数问题常运用判别式） 四、不等式的解法
?f?x??0???f?x??0f?x??g?x?化为?1??或?2??g?x??0
gx?0?????2fx?g???x??asin?,y?，acos?）
1、 无理不等式：?一??f?x??0? ?二?f?x??g?x???g?x??0?2?f?x??g?x?2、指数不等式、对数不等式要注意对底数的讨论，对数不等式还要注意真要大于0。
23、“非常规不等式”常用数形结合法。如：?1?.log2??x??x?1，（2）x?logax?0在（0，
12）内恒
成立，则a满足（A）A.116?a?1,B.116?a?1,C.0?a?116,D.0?a?116
五、参数不等式：（一）解含参数的不等式： 1、
ax??a?1?x?1?0化为?ax-1??x?1??0,分三大类二个层次5个小类：2?1?a1?1??0,?xx?1?,?2?a?0,化为?x-??x?1??0,1?1,a?1??a?a??1??1?2a?1,??x?x?1?30?a?1??x1?x??a??a??
?3?a?0?a?x?1?x?21??1??x?x?1?0?xx?1或x???????aa????2、?1??a?1?x?a?2x?2?0
?a?2?1当a?0时，原不等式的解集是,2?,?2?当a?0时,原不等式的解集是?????a?1??3?当0????时?原不等式的解集是?????a?2??,a?1?????2,????
?4?当aa?2??1时,原不等式的解集是???,a?1??5?当a=1时,原不等式的解集是?2，＋??
（二）恒成立问题：解恒成立问题常用方法：①分离参数法；②数形结合；③转化为函数的最值问题。你
能清楚何时用何种方法吗？
常见题型：①若m?f(x)在x?[a,b]上恒成立，则m?f(x)max；若m?f(x)在x?[a,b]上恒成立，则m?f(x)min。②若m?f(x)在x?[a,b]上有解，则m?f(x)min；若m?f(x)在x?[a,b]上无解，则m?f(x)min。（注：m为常数。）③f(x)?g(x)在x?[a,b]上恒成立，是对于任意的x?[a,b]，（不是。通常移项，使h(x)min?f(x)?g(x)?0即可；若h(x)f(x)min必须大于g(x)max吗？应该怎样解？
的最值无法求出，则考虑数形结合，只需在x?[a,b]上f(x)的图像始终在g(x)的上方即可。）
（1）一次函数型：给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于 ⅰ）??a?0?f(m)?0?a?0?f(n)?0?f(m)?0?f(n)?0或ⅱ）?亦可合并定成?
?f(m)?0同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有?
f(n)?0?（2）二次函数型：若二次函数y=ax+bx+c=0(a≠0)大于0恒成立，则有?2
?a?0???0
若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。
例1、 设f(x)=x2-2ax+2,当x?[-1,+?)时，都有f(x)?a恒成立，求a的取值范围。
分析：题目中要证明f(x)?a恒成立，若把a移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[-1,+?)时恒大于0的问题。
法一：解：设F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a.
ⅰ)当?=4（a-1)(a+2)<0时，即-2
????0?(a?1)(a?2)?0??即?a?3?0 ?f(?1)?0?a??1,??2a????1,?2?y -1 o x 得-3?a?-2;
综合可得a的取值范围为[-3，1]。
法二：化为求F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a.在x?[-1,+?)上的最小值大于等于0。再对对称轴的位置进行讨论。
法三：分离参数法：再对参数分类讨论：
22?x?2??x?1?1?x?2?/2x?1a?x?2,x??1,??a??gx?gx??0???????2?2?2x?1??2x?1?222?x?2??x?1?x?2?1?/?a?g??1???3,x???,????a??g?x??g?x??22x?1?2??2x?1?
?g?x?min?g?1??1综合知a???3,1?（3）分离变量型：若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。
例2、 已知当x?R时，不等式a+cos2x<5-4sinx+5a?4恒成立，求实数a的取值范围。
分析：在不等式中含有两个变量a及x，其中x的范围已知（x?R），另一变量a的范围即为所求，故可考虑将a及x分离。
六、线性规划：1、二元一次不等式表示的平面区域：（1）当A﹥0时，若Ax＋By＋C﹥0表示直线l的右
边，若Ax＋By＋C﹤0则表示直线l的左边。当A﹤0时则相反。（2）当B﹥0时，若Ax＋By＋C﹥0则表示直线l的上方，若Ax＋By＋C﹤0则表示直线l的下方。当B﹤0时则相反。无等号时用虚线表示不包含直线l。有等号时用实线表示包含包含直线l。
2、设点P（x1,y1）,Q(x2,y2)，若Ax1+By1+C与Ax2+By2+C同号则P，Q在直线l的同侧，异号则在直线l的异侧。
3、线性规划中的几个几何意义：
?1?z?2??ax?by,若b?0，直线在y轴上的截距越大，z越大，若b?0，直线在y轴上的截距越大，z越小。y?mx?nyx表示过两点?x,y?,?n,m?的直线的斜率，
特别表示过原点和?n,m?的直线的斜率。2?3?t??x?m?2??y?n?表示?x,y?到点?n,m?的距离的平方，2特别t?x?y表示?x,y?到点?0,0?的距离的平方。2第十八讲常用的逻辑用语
1、四种命题：一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用﹁p或﹁q分别表示p和q的否定，则四种命题的形式是：（1）原命题：若p则q，（2）逆命题：若q则p，（3）否命题：若﹁p 则﹁q ，（4）逆否命题：若﹁q 则﹁p，
四种命题的真假关系：一个命题与它的逆否命题是等价的，其逆命题与它的否命题也是等价的。要注意区别“否命题”与“命题的否定”：若原命题是“若P则Q”，则这个命题的否定是“若P则非Q”，而它的否命题是“若非P则非Q”。但对于“全称命题”与“特称命题”是互为否定的。 2、如果已知p?q,则有四种说法：（1）p是q的充分条件，（2）q是p的必要条件，（3）p的一个必要条件是q,（4）q的一个充分条件是P。 练习：（1）若?P是?Q的必要不充分条件，则P是Q的（A）
A 充分而不必要条件，B 必要不充分条件，C 充要条件，D 既不充分与必要条件
（2）“a?1或b?2”是“a?b?3”成立的 条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的一个)． 学科网
3、复合命题的三种基本形式及真假判定：P或Q（P∨Q），P且Q（P∧），非P（﹁P）。 “P与﹁P”中的一些常用对应词 原结论 是（一定是） 反设 都是（全是） >（<） 至少有一个 至多 ＝ 存在 有一个 ≠ 不存在 （都不是） 有2个 4、全称量词：“所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”等。常用“?”表示。含有全称量词的命题叫全称命题。 存在量词：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“有的” “对某个”等。常用“?”表示。含有存在量词的命题叫特称命题。
全称命题p:?x?M,p?x?,它的否定?p:?x0?M,?P?x0?,不是（一定不是） 不都是 ≤（≥） 一个也没有 至少 特称命题p:?x0?M,p?x0?,它的否定?p:?x?M,?P?x?。
练习：写出下列命题的否定：（1）p：所有能被3整除的整数都是奇数。
2（2）p：?x0?R,x0?2x0?2?0
第十九讲圆锥曲线与方程
一、曲线与方程
（一）曲线与方程的概念：在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0上的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点；那么，这个方程叫曲线的方程；这条曲线叫方程的曲线。