sin? 12 22 3210 1 1 0 -1 6?42 6?46?42 cos? 32 22 2 0 -1 0 6?42 2 tan? 331 1 3 0 0 2-3 2+3 cot? 3 33 0 0 2+3 2-3 9、两角和公式：
C?????,cos??????cos?cos??sin?sin?S?????,sin??????sin?cos??cos?sin?对第三式的??的值使等式两边有意义。 T?????,tan??????tan??tan?1?tan?tan?注意公式的变形应用如：tan??tan??tan??????1?tan?tan??
b??22a?bsin?????,?tan???
a??3210、化一公式：asin??bcos??如：（1）当函数y?2cosx?3sinx取得最大值时，tanx的值是______(答：?f?x??sin?x????2cos(x??)是奇函数，则tan?= )；（2）如果
(答：－2)；
11、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式如：
巧变角：如??(???)???(???)??，????2???????????00???2，
???2?????2， ?????等）
?2????20????245???90??45???,??2??2
,2??????????????4)的值是_____（答：
322如（1）已知tan(???)?为锐角，si?n?x3y??51?x225，tan(???4)?14，那么tan(??35）；（2）已知?,?,c?o?sy，cos(???)??，则y与x的函数关系为______（答：
43?x(55?x1?)注意：隐含y＞0. ，
第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”第三观察代数式的结构特点。 12、二倍角的正弦、余弦、正切
sin2??2sin?cos?,二倍角公式：cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2?
tan2??2tan?1?tan?cos??22,cot2??1?tan?2tan??1?cos2??2cos?221?cos2?21?cos2?2降幂公式与升幂公式：
sin??2
,?1?cos2??2sin?2?1?cos??,在第一、四象限??sin?1?cos???22tan??半角公式：cos??
21?cos?sin?2?1?cos???,在第二象限、第三象限?22?2tan?22?1?tan,?2?cos??1?tan2?2,3tan????22tan1?tan?22?13、万能公式：?1?sin??1?tan1?sin??(cos2?
22?2?sin?2)?cos2?2?sin?2
第十五讲三角函数的图象和性质
1、正弦函数、余弦函数的图象和性质：(1)五点法作图：先描出正弦曲线和余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。
?3?,2?的五点。 常选取横坐标分别为0，,?,22(2)正弦函数y=sinx是奇函数，对称中心是?k?,0??k?Z?，对称轴是直线x?k?????2?k?Z?。
余弦函数y=cosx是偶函数，对称中心是?k??3??,0??k?Z?，对称轴是直线x?k??k?Z?。 2?练习：已知函数f(x)?ax?bsinx?1(a,b为常数），且f(5)?7，则f(?5)?______（答：－5）；（3）函数y?2cosx(sinx?cosx)的图象的对称中心和对称轴分别是__________、____________（答：
(k?2??8,1)(k?Z)、x?k?2??8(k?Z)）；（4）已知f(x)?sin(x??)?3cos(x??)为偶函数，
求?的值。（答：??k???6(k?Z)）
(3)、单调性：y?sinx在?2k?????2,2k?????k?Z?上单调递增， ?2?在2k??????2,2k??3???k?Z?单调递减。 ?2?y=cosx在?2k?,2k?????k?Z?上单调递减，在?2k???,2k??2???k?Z?上单调递增。
如：函数f(x)?5sinxcosx?53cos2x?[k??523(x?R)的单调递增区间为___________（答：
?12,k??5?12](k?Z)）
三角函数的单调性：正弦一,四增，二、三减。余弦三、四增，一、二减。正切只有增区间，余切只有减区
间。强调象限的区间内。
2、y?Asin??x???的图象：(1)振幅、周期、频率、相位、初相：函数y?Asi??nx???2?,?x?0???,??AA表示这个振动的振幅，往返一次??0,0?，表示一个振动量时，
1T?所需的时间T＝
??x??称为相位，x＝0时的相位?叫初相。
，称为这个振动的周期，单位时间内往返振动的次数f??2?称为振动的频率，
(2)、函数y?Asin??x???＋K的图象与y=sinx的图象的关系：
把y=sinx的图象纵坐标不变，横坐标向左（?>0）或向右（?<0）， y=sin（x+?） 把y=sin（x+?）的图象纵坐标不变，横坐标变为原来的注意：此处初相不变。
si?n?把y=sin（?x+?）的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍， y?A?x??
1?， y=sin（?x+?）
把y?Asin??x???的图象横坐标不变，纵坐标向上（k>0）或向下（k<0）， y?Asin??x???+K
若由y=sin（?x）得到y=sin（?x+?）的图象，则向左或向右平移
??个单位。
注意：y=sin ??x+?? 应先化为??y=sin??x+?????
????3、正切函数y=tanx的性质：（1）定义域：?xx????k?,k?Z?，。（2）值域是R，在上面定义域上无2?最大值也无最小值。（3）周期性：是周期函数且周期是?，它与直线y=a的两个相邻交点之间的距离是一个周期?。（4）奇偶性：是奇函数，对称中心是??k??,0??k?Z?，无对称轴。 ?2?（5）单调性：正切函数在开区间?????2?k?,???k???k?Z?内都是增函数。但要注意在整个定义域上不2?具有单调性。
4、反三角函数的定义：（1）反正弦：在闭区间??????,?上符合条件sinx=a（-1≤a≤1）的角x，叫做实22??????,?，且a=sinx.注意arcsina表示一个角，这个角的?22?数a的反正弦，记作arcsina,即x=arcsina,其中x???????,?内（-1≤a≤1） ?22?正弦值为a,且这个角在??（2）反余弦：在闭区间?0,??上，符合条件cosx?a??1?a?1?的角x，叫做实数a的反余弦，记作arccosa,即x=arccosa,其中x??0,??,a?cosx. (3)反正切：在开区间（－
?2，
???2）内，符合条件tanx=a（a为实数）的角x，叫做实数a的反正切，记做
arctana,即x=arctana,其中x??????,?且a?tanx.
22?反三角函数的性质：（1）sin（arcsina）=a, （-1≤a≤1）,cos（arccosa）=0, （-1≤a≤1）, tan（arctana）=a,(2)arcsin（-a）=-arcsina,arccos（-a）=?-arccosa,arctan（-a）=-arctana, (3)arcsina+arccosa=
?2,(4) arc sin （sinx）=x,只有当x在??????,?内成立。同理arccos（cosx）=x只有当x22??在闭区间?0,??上成立。
5．三角函数的值域的求法：（1）y=asinx+b（或y=acosx+b）型，利用sinx?1?或cosx?1?，即可求解，此时必须注意字母a的符号对最值的影响。
（2）y=asinx+bcosx型，引入辅助角? ，化为y=a?bsin（x+?）,利用函数sin?x????1即可求
22解。Y=asin2x+bsinxcosx+mcos2x+n型亦可以化为此类。
（3）y=asin2x+bsinx+c（或y=acos2x+bcosx+c），型，可令t=sinx（t=cosx）,-1≤t≤1,化归为闭区间上二次函数的最值问题。 （4）Y=
asinx?bcsinx?dasinx?bccosx?d（或y=
acosx?bcosx?d）型，解出sinx（或cosx）,利用sinx?1?或cosx?1?去解；或
用分离常数的方法去解决。 （5）y=
（y=
acosx?bcsinx?d）型，可化归为sin（x+?）g（y）去处理；或用万能公式换元后用
判别式去处理；当a=c时，还可利用数形结合的方法去处理上。
（6）对于含有sinx±cosx,sinxcosx的函数的最值问题，常用的方法是令sinx±cosx=t,t?转化为t的函数关系式，从而化为二次函数的最值问题。 6、关于三角函数的周期：
(1)一般先化为：y?Asin??x????m,T?2?,y?Atan??x????m,T?2,将sinxcosx
???,
(2) 绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。 如
2y?sinx,y?sinx的周期都是?, y?|tanx|的周期不变；
第十六讲平面向量与空间向量
1、向量：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，有向线段的长度叫向量的模，注意不能说向量就是有向线段。长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是
?????????AB任意的。长度为一个单位长度的向量叫做单位向量，常用e表示。????表示与AB同向的单位向量。
AB??????????????ABAC?：方向相同或?????????????0,????表示∠BAC的角平分线上的向量，共线向量（也叫平行向量）
?ABAC?相反的非零向量，a平行于b，记作：a∥b，
规定零向量和任何向量平行。注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等。表示共线向量的有向线段不一定在同一直线上，向量可以平移。
共线向量的方向不一定相同或相反，因为零向量的方程是任意的。 相反向量；长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是－a。
??????????????????????????????2、向量加法：设AB?a,BC?b,那么向量AC叫做a与b的和，即a?b?AB?BC?AC
作向量的加法有“三角形法则”和“平行四边形法则”，其中“平行四边形法则”只适用于不共线的向量。
????????????????????????作向量减法有“三角形法则”：设AB?a,AC?b,那么a?b?AB?AC?CA由减向量和终点指向被减
向量和终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。
??3、向量共线定理：b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数?，使得b＝?a（a?0），
4、平面向量的基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对这一平面内的任一向量??????a存在唯一的一对有序实数??1,?2?使a??1e1??2e2成立，不共线向量e1，e2表示这一平面内所有向量
的一组基底。 5
、
向
量
平行
的
坐
标表
示
：
??a//b?x1y2?x2y1?0，对空间向量