??????a??x1,y1,z1?,b??x2,y2,z2?,a??b?a??b?x1??x2,y1??y2,z1??z2,
6、空间直线的向量参数方程 如图：A，B，P三点共线AB?a
OP?OA?tAB=
OPBA
1?t?OA?tOB 特别当t=
1为空间任一点。即
2????????????P、A、B三点共线?OP?xOA?yOB?x?y?1?
时OP?1?OA?OB? 此时P为AB的中点。O2???0??????????????,?b,?AOB7、、两个向量的夹角：对于非零向量a，b，作OA?aOB?称为向量a，b的
夹角，当?＝0时，a，b同向，当?＝?时，a，b反向，当?＝
?2时，a，b垂直。
??向量的数量积：如果两个非零向量a，b，它们的夹角为?，我们把数量abcos?叫做a与b的数量积??（或内积或点积），记作：a?b，即a?b＝abcos?。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意
数量积是一个实数，不再是一个向量。 向量数量积的性质：设两个非零向量a，b。 ????????1?e?a?a?e?acosa,e????,?2?a?b?a?b?0?2a???????2???2??3??ab?a?b?ab,a?a?a?a,a???a?b4cos??????ab
????（5）当a，b同向时，a?b＝ab，当a与b反向时，a?b＝－ab，当?为锐角时，a?b为正且????a，b不同向，a?b≠ab，当?为钝角时，a?b为负且a，b不反向，a?b≠－ab。
???? b不同向，a?b?0是?为锐角的必要非充分 当?为锐角时，a?b＞0，且a、???? b不反向，a?b?0是?为钝角的必要非充分条件；条件；当?为钝角时，a?b＜0，且a、????????|a?b|?|a||b|。如（1）已知a?(?,2?)，b?(3?,2)，如果a与b的夹角为锐角，则?的取值范围是
______（答：???43或??0且?????13）；
数量积的的运算律：已知向量a,b,c和实数?，下面（1）（2）（3）分别叫做交换律，数乘结合律，分配律。
?????????????????a?b?b?a,?2??a?b??a?b?a??b,?3?a?b?c?a?c?b?c
??????????????注意下列式子是错误的：?1?a?b?c?a?b?c???????????2?a?b?b?c?a?c
??a?b????3???ab?0b???4????a?b???2???2?3?3????a?a?b?b?a?b,?5?a?b?0?a?0或b?0，
?????平面向量数量积的坐标表示： a??x1,y1?,b??x2,y2?那么a?b?x1x2?y1y2，
????空间向量数量积的坐标表示：a??x1,y1,z1?,b??x2,y2,z2?,那么a?b?x1x2?y1y2?z1z2
8、向量的长度和两点间的距离公式：
???1?a??x,y?,那么a2??x?y,a?22x?y22
AB?22?2?若A?x1,y1?,B?x2,y2?,那么???3?a??x,y,z?,那么a22?x2?x1?22??y2?y1?222??x?y?z,a?AB?x?y?z ?4?若A?x1,y1,z1?,B?x2,y2,z2?,那么?x2?x1?2??y2?y1???z2?z1?229、 两向量垂直的充要条件：
??????非零向量a??x1,y1?,b??x2,y2?那么a?b?x1x2?y1y2＝0?a?b
??????非零向量a??x1,y1,z1?,b??x2,y2,z2?那么a?b?x1x2?y1y2?z1z2＝0?a?b
?10、bcos?叫b在a上的投影。a?b的几何意义是它等于a的模a与b在a上的投影的积。
注意：投影也叫射影，是一个数，可正可负也可为0，不再是一个向量。有两种计算方式：
???????a?ba在b上的投影?a?cosa,b??
b11、向量与平面平行：如果向量所在直线在平面内或与平面平行，则称向量与平面平行。注意与直线与平面平行的区别。
共面向量：平行于同一平面的向量叫做共面向量，空间任意两个向量都共面(包括两条异面直线上的向量)。空间三个向量不一定共面。不共面的三个向量可构成空间的一个基底。
共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在实数对x,y，使得p＝xa+yb.
共面向量定理的推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x,y,使
MP?xMA?yMB或对空间任一点O，有op?oM?xMA?yMB
＝mOM?nOA?kOB（m＋n+k=1）.这也是证四点共面的方法。
12、空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序组x,y,z,使p＝xa+yb+zc.其中｛a，b，c｝叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量。 13、空间直角坐标系：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长度都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用｛i,j,k｝表示，而空间坐标系的建立是：在空间选定一点O和一个单位正交基底｛i,j,k｝，以O为原点，分别以i,j,k的方向为正方向建立三条数轴：x轴，y轴，z轴，它们都叫坐标轴，O－xyz为空间坐标系，向量i,j,k为坐标向量，通过每两条数轴的平面叫做坐标平面，分别叫做xOy平面，yOz平面, xOz平面,作空间坐标系时，一般使∠xOy=135°(或45°)，∠yOz=90°.在空间坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称此坐标系为右手直角坐标系。 14、向量与平面垂直：如果表示向量a的有向线段所在的直线垂直于平面ａ，则称这个向量垂直于平面ａ，此时向量a叫做平面ａ的法向量。
15、线段的定比分点：设点P是直线P1P2上异于P1、P2的任意一点，若存在一个实数? ，使P1P＝?PP2，???????????叫做点P分有向线段P1P2所成的比，P点叫做有向线段P1P2的以定比为?的定比分点。当P点在线段
?>0，?<－1，P1P2上时，当P点在线段 P1P2的延长线上时，当P点在线段P2P1的延长线上时 －1
?定比分点的坐标公式：
x1??x2?x???????????1??设P1?x1,y1?,P2?x2,y2?,P?x,y?,P1P??PP2,?
?y?y1??y2?1???在使用定比分点的坐标公式时，应明确（x,y）, （x1,y1）, （x2,y2）的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。一般在计算中应根据题设，自行确定起点，分点和终点并根据这些点确定对应的定比?。 x1?x2?x???2?当?＝1时，就得到P1P2的中点公式：
?y?y1?y2??216、在?ABC中，①若A?x1,y1?,B?x2,y2?,C?x3,y3?，则其重心的坐标为
?x?x2?x3y1?y2?y3?G?1,?。
33???????????????????????????????1②PG?(PA?PB?PC)?G为?ABC的重心，特别地PA?PB?PC?0?P为?ABC的3重心；
????????????????????????③PA?PB?PB?PC?PC?PA?P为?ABC的垂心；
????????ACAB??????)(??0)所在直线过?ABC的内心(是?BAC的角平分线所在直线)； ④向量?(???|AB||AC|?????????????????????????⑤|AB|PC?|BC|PA?|CA|PB?0?P?ABC的内心；
⑥S⊿AOB＝12xAyB?xByA
????????????????????如：（1）若O是?ABC所在平面内一点，且满足OB?OC?OB?OC?2OA，则?ABC的形状为
____（答：直角三角形）；（2）若D为?ABC的边BC的中点，?ABC所在平面内有一点P，满足
?????????????????|AP|；（3）若点O是△ABC的外心，且AP?BP?CP?0，设??????，则?的值为___（答：2）
|PD|?????????????OA?OB?CO?0，则△ABC的内角C为____（答：120?）；
?17、平移公式：将点P（x,y）,按a??h,k?平移至点P′（xˊ,yˊ）,
?x??x?h?x?x??h则?，??y??y?k?y?y??k??h?x??x,?，a叫平移向量。 ?k?y??y?图象的平移：设函数y=f（x）的图象为C，将C上每一点均按a??h,k?平移，得一个新的图象C′，则
C′对应的函数关系式为y-k=f（x-h）,即y=f（x-h）+k,
??（2）函数y?sin2x的图象按向量a平移后，所得函数的解析式是y?cos2x?1，则a＝________（答：
(??4?2k?,1)）
第十六讲正弦定理与余弦定理
1、正弦定理：在三角形ABC中，a,b,c分别为角A，B，C的对边，R为三角形ABC的外接圆的半径，则有
asinA?bsinB?csinC?a?b?csinA?sinB?sinC?2R，注意以下一些变式：
?1?a?b?c?sin?3?aA?sinB?sinC,?2?sinA?a2R,sinB?b2R,sinC?c2R
?2RsinA,b?2RsinB,b?2RsinC.222?b?c?a?cosA?2222bc?a?b?c?2bccosA,?222?2a?c?b?222、余弦定理：在三角形ABC中，有?b?a?c?2accosB,?cosB?
2ac?2?22c?a?b?2abcosC222??a?b?c?cosC?2ab?3、其它公式：
（1） 射影公式：?12a?bcosC?ccosB,b?acosC?ccosA,c?acosB?bcosA
?2?七个三角形面积公式：?1?S??4?S?2aha，?2?S??1212absinC，?3?S??1abc4R?2RsinAsinBsinC，?5?S???a?b?c?r，?6?S?＝????2????AB?AC2?????????1AB??x1,y1?,AC??x2,y2?,?7?S??2?2?????????AB?ACx1y2?x2y1??2
?由?2?及向量的数量积公式可得??8?S??a?b?c??p?p?a??p?b??p?c??P???这叫海伦公式，一般不用?2??12其中r为三角形ABC内切圆半径，R为外接圆的半径，p??a?b?c?
4、正弦定理在解三角形中的应用：（1）已知两角和一边解三角形，只有一解。
（2）已知两边和其中一边的对角，解三角形，要注意对解的个数的讨论。可按如下步骤和方法进行：先看已知角的性质和已知两边的大小关系。如已知a,b,A.（一）若A为钝角或直角，当b≥a时，则无解。当a≥b时，有只有一个解。（二）若A为锐角，结合下图理解。1）若a≥b或a=bsinA,则只有一个解。2）若bsinA＜a＜b,则有两解。3）若a＜bsinA,则无解。
BC1AC2C3C4
也可根据a,b的关系及sinB?????1一解bsinA?sinB? ??1无解a??a?b一解???0,1?且???a?b 两解?bsinAa与1的大小关系来确定。
b，且A=60, b?4，那么满足条件的?ABC，如：?ABC中，A、B的对边分别是a、（1）只有一个解
?时，边长a的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿a?aa?23或a?4
??