练习：（1）
如果命题“坐标满足方程F?x,y??0的点都在曲线C上”是不正确的，那么下列命题中正确的是( D )ABCD坐标满足方程F?x,y??0的点都不在曲线C上，曲线C上的点的坐标不满足方程F?x,y??0，
坐标满足方程F?x,y??0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上，至少有一个不在曲线C上的点，它的坐标满足方程F?x,y??0。分析：“都在”的否定是“不都在”，上面命题等价于“方程F?x,y??0的解为坐标的点有些不在曲线C上。”（二）求曲线方程（求轨迹）的几种常用方法：
1、直接法：直接用动点P（x，y）的坐标表示等量关系，化简得轨迹方程。一般步骤是：①建立适当的直角坐标系，用（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标；如果题中出现了点的坐标或方程表示已经建立了坐标系。②列出点 M适合条件的几何等量关系；③用坐标表示列出方程f(x,y)=0，④化方程f(x,y)=0为最简形式；⑤证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。一般情况下，化简前后的方程的解是相同的，步骤⑤可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，另外，根据情况，也可以省略步骤②直接列出直线方程。
例1：三角形ABC的顶点A固定，点A的对边BC的长为2a,边BC上的高线长为b，边BC沿一条定直线移动，求三角形ABC外心的轨迹方程。
分析：以BC边所在的直线为x轴，过A点且与x轴垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系,则B（0，b），设外心M（x,y），则|MA|＝|MB|，B（x-a,0）,x2-2by+b2-a2=0 2、 定义法：通过圆锥曲线（或已知曲线）定义确定轨迹性质，进而求得方程。
例2、(1)由动点P向圆x2?y2?1作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=600，则动点P的轨迹方程为
2 ?OP?2?x?y?4
22（2）点M与点F(4,0)的距离比它到直线l：x?5?0的距离小于1，则点M的轨迹方程是_____
y?16x
(3) 一动圆与两圆⊙M：x?y?1和⊙N：x?y?8x?12?0都外切，则动圆圆心的轨迹为
。
2222?x?2?142?y2154?1?x?2?双曲线的左支上。注：都内切时，得到该双曲线的右支。若与前者内切，与后者外切时，得到双曲线
?x?2?342?y2134?1?x?2?的左支，若与前者外切，与后者内切时，得到双曲线?x?2?342?y2134?1?x?2?的右支， （4）、
圆O的半径为r，A是圆内一定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆C运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？若点A在 圆外呢？ 前者为椭圆，后者为双曲线。3、相关点代入法：当动点P（x，y）与已知曲线上动点P1（x1，y1）相关时，用x，y表示x1，y1，再代入已知曲线方程，求得轨迹方程。
例3：（1）动点P是抛物线y?2x2?1上任一点，定点为A(0,?1),点M分PA所成的比为2，则M的轨迹方程为__________
???????????x?xP??2x?xP?3x设M?x,y?,?PM?2MA????代入抛物线得 ?y?yP?2?2y?yP?3y?23y?2?2?3x??1?y?6x?12???（1） 若点P(x1,y1)在圆x2?y2?1上运动，则点Q(x1y1,x1?y1)的轨迹方程是____ ?x1x2?u22设??v?2u?1,即Q(x1y1,x1?y1)的轨迹方程是y?2x?1 ?x1?x2?v例4、设O为平面直角坐标系的原点，已知定点A（3,0），动点B在曲线x2+y2=1上运动，∠AOB的平分线交AB于点M，求动点M的轨迹方程。
分析：当轨迹上的点的坐标难以直接建立关系时，且已知轨迹上的点的坐标受已知曲线上的某一动点的坐标的影响，可用相关点代入法。本题可用角平分线定理和相关点代入法。 （4x-3）2+16y2=9
B M A
4、交轨法：已知所求曲线是某两条曲线的交点可通过解方程组而得。（常与参数法相结合。） 例5、已知直线L1过A（－2,0），直线L2过B（2,0），且L1与L2分别绕A，B旋转，它们在y轴上截距分别为b1,b2，其中b1?b2?4，试求L1与L2交点的轨迹方程。
L1:x?2?yb1?1,L2:x2?yb2?1,b1?b2?4?x?y?4?y?0?
22
5、参数法。先选定某个变量作为参数，再找出曲线上的点的横坐标、纵坐标与参数的关系式，然后再消去参数。
例6、已知常数a?0，在矩形ABCD中，AB?4，BC?4a，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且
BEBC?CFCD?DGDA，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P
到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由 y D F P G A O B x C E
根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P到两点距离的和
为定值.按题意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）设由此有E（2，4ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak） 直线OF的方程为：2ax?(2k?1)y?0① 直线GE的方程为：?a(2k?1)x?y?2a?0②
从①，②消去参数k，得点P（x,y）坐标满足方程2a2x2?y2?2ay?0 整理得
x2BEBC?CFCD?DGDA?k(0?k?1)
12?(y?a)a22?1 当a2?12时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.
当a?2121212时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长 当a?2时，点P到椭圆两个焦点（?12?a,a),(2122?a,a)的距离之和为定值2 当a?2时，点P 到椭圆两个焦点（0，a?a2?1),(0,a?a2?1) 的距离之和为定值2a.
22本题是交轨法与参数法的例子。 例7、（本例是情侣圆锥曲线的求法）
设A1、A2是椭圆xa22?yb22＝1长轴的两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦，求直线A1P1与A2P2的交点P的轨迹方程。分析：设A1??a,0?,A2?a,0?,P1?x0,y0?,P2?x0,?y0?,P?x,y?A1P:?x?a??y?y0??y?x?x0?,A2P:?x?a??y?y0??y?x?x0?,?x0?a2
x,y0?ayx,?xa22?yb22?1本题是相关点代入法和交轨法相结合。
6、待定系数法：已知曲线方程的类型，可先设出曲线方程的形式，然后求出有关的系数。 例8、
线段AB过x轴上一定点M?m,0?,端点A、B到x轴的距离之积为2m，以x轴为对称轴过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线的方程为＿＿＿＿＿。2?y12??y2?设抛物线的方程为y?2px?p?0?，A?,y1?,B?,y2??2p??2p?2
?y1y2??2m?2???????y2??y12??????PA??PB?y1?2p?m??y2?2p?m??0??????y?2x2?1?y?y?1?12????0?p?1
?p?二、椭圆：
1、椭圆的定义1：PF1+PF2?2a?F1F2 ，F1，F2为两定点即焦点。定义2：
2222PFd?e??0,1?
2、椭圆的标准方程：焦点在x轴上时： ≤x≤a,-b≤y≤b,
当焦点在y轴上时，标准方程为
ya22xa?yb,焦点F（?c，0）, 准线方程为x=??1（a﹥b﹥0）
a2c,-a
?xbxa22＝1（a﹥b﹥0）,焦点F（0，?c），准线方程为y=?22a2c,
223、椭圆焦点三角形：（1）设P为椭圆?yb?1，上任意一点，F1，F2为焦点且∠F1PF2
22＝?，则△F1PF2为焦点三角形，当r1=r2即P为短轴端点时，?最大且?max＝arccosb?ca2，
?b2?c2??2cos???,1，（2）它的面积公式为： S＝btan＝cy0 , 当y0=b时，P为短轴端点时，Smax?22a??的最大值为bc。（3）焦点三角形中?为锐角三角形的充要条件是，P在圆x?y?c外。焦点三角形为钝角三角形的必要条件是b＜c。
222?（4）焦点三角形的周长2a+2c.r1?r2??a?ex0??a?ex0??a2?e2x0???b,a?,当且仅当x=±a时取最
222222222?小值,当x=0时取最大值。PF1?PF2＝F1P?F2P＝?x0?c,y0???x0?c,y0??x0?y0?c???b?c,b?
????????????????.4、方程Ax?By?1表示椭圆的充要条件是：A＞0，B＞0，A≠B。A＞B时，焦点在y轴上，A＜B时，焦点在x轴上。 5、离心率e＝
ca22，0﹤e﹤1,e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。
6、焦半径公式：P(x0,y0)为
xa22?yb22上一点， F1为左焦点， F2为右焦点，P F1＝a+ ex0,P ?1（a﹥b﹥0）
F2= a- ex0（左加右减），以焦半径为直径的圆和以长轴为直径的圆内切。
2ba27、弦长公式：（1）通径：通过焦点且垂直于长轴的弦长：PQ＝径为直径的圆和相应的准线相离。 （2）过
xa22，P，Q为弦与椭圆的交点。以通
?yb22（a﹥b﹥0）的焦点F（或F2）的弦长：PQ＝2a+e(x1+x2) (或AB＝2a-e(x1+x2) )，?11x1，x2分别P，Q为的横坐标。
（3）一般的弦长公式：x1，x2分别为弦PQ的横坐标，弦PQ所在直线方程为y=kx+b,代入椭圆方程整理得Ax2+Bx+C=0,则PQ＝1?k22x1?x2?1?kB?2ACA2，若y1,y2分别为弦PQ的纵坐标，则
PQ＝1?1k2y1?y2，
bx0ay0228、以P(x0,y0)为中点的弦A（x1,y1）,B（x2,y2）所在直线的斜率k=－
bx0ay022，直线AB的方程为：
y-y0=- (x-x0). AB的中垂线方程为y-y0=
ay0bx022(x-x0)
9、斜率为k的弦的中点轨迹方程：设弦PQ的端点P(x1,y1),Q(x2,y2)，中点M（x0,y0），把P，Q的坐标代入椭圆方程后作差相减用中点公式和斜率公式可得
xa22xa2?kyb2?0（椭圆内不含端点的线段）
10、设P（x0,y0）是椭圆
?yb22?1（a﹥b﹥0）上一点，则过P点的切线方程是：
x0xa2?y0yb2?1（利
用导数求出斜率或利用判别式求斜率） 11、点P和椭圆
xa22?yb22?1（a﹥b﹥0）的关系：（1）点P（x0,y0）在椭圆外?222222x0a22?y0b22﹥1，（2）点
P（x0,y0）在椭圆上?x0a?y0b2＝0，（3）点P（x0,y0）在椭圆内?22x0a?y0b2﹤1
12、椭圆的参数方程为：
xa22?yb?x?acos??1（a﹥b﹥0）??
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