《高等数学》单元测试及详细解答
第六单元 定积分的应用
一、填空题
1、由曲线y?ex,y?e及y轴所围成平面区域的面积是______________ 。 2、由曲线y?3?x2及直线y?2x所围成平面区域的面积是____________。 3、由曲线 y?x1?x2,y?1,x??1,x?1所围成平面区域的面积是_______ 。 4、由曲线y?ex,y?e?x与直线x?1所围成平面区域的面积是_________ 。
5、连续曲线y?f(x),直线x?a，x?b及x轴所围图形绕x轴旋转一周而成的立体的体积v?__________，绕y轴旋转一周而成的立体的体积v?____________。 6、抛物线y2?4ax及直线x?x0(x0?0)所围成的图形绕x轴旋转而成的立体的体积______。
7、渐伸线x?a(cost?tsint)，y?a(sint?tcost)上相应于t从0变到?的一段弧长为______。
8、曲线y??x3?x2?2x与x轴所围成的图形的面积A?_______。
9、界于x?0,x??之间由曲线y?sinx,y?cosx所围图形的面积S?_______。 10、对数螺线r?ea?自??0到???的弧长l?_________。
11、心形线??4(1?cos?)和直线??0,??为____________。 二、选择题
?2围成图形绕极轴旋转所得旋转体的体积
1、曲线y?lnx,y?lna,y?lnb(0?a?b)及y轴所围图形的面积A?（ ）。 （A）
??lnblnalnxdx； （B）?aedx； （C）?edy； （D）?alnxdx。
elnaebxlnbyebe2、曲线r?2acos?所围面积A?（ ）。
?（A）
20?112(2acos?)2d?； (2acos?)d?； （B）???22 第1页
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（C）
?2?0?112(2acos?)d?； （D）2?2(2acos?)2d?。
022?3、曲线r?ae及????,???所围面积A?（ ）。
222?a?a?22?1?22?2?ed?； （C）?aed?； （D）?e2?d?。（A）?aed?； （B）?
00????2224、曲线y?ln(1?x2)上0?x?12一段弧长s?（ ）。 121（A）
?201???1??1?x2??dx； （B）?21?x201?x2dx； 11（C）
?21??2x1?x2dx； （D）?2001?[ln(1?x2)]2dx。 5、双纽线(x2?y2)2?x2?y2所围成的区域面积可用定积分表示为（ ??（A）2?40cos2?d?； （B）4?40cos2?d?；
??（C）2?40cos2?d?； （D）1?420(cos2?)2d?。
6、y?x2,x?y2绕y轴所产生的旋转体的体积为（ ） （Ａ）3?； （Ｂ）
3?510； （Ｃ）2?； （Ｄ）34?。 3７、曲线y?23x2上相应于x从a到b的一段弧的长度（ ）
2244（Ａ）2(b3?a3)； （Ｂ）23(b3?a33)；
3333（Ｃ）23[(1?b)2?(1?a)2]； （Ｄ）29[(1?b)2?(1?a)2]。
8、曲线y?sinx的一个周期的弧长等于椭圆2x2?y2?2的周长的（ （Ａ）1倍； （Ｂ）2倍； （Ｃ）3倍； （Ｄ）4倍。 三、计算解答
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）
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1、求抛物线y??x2?4x?3及其在(0,?3)和(3,0)处的切线所围成图形的面积。 2、求双纽线r?asin2?所围图形的面积。 3、求由平面图形y?cosx?sinx,y?0(0?x?22?4)绕x轴旋转的旋转体体积。
4、求摆线x?a(t?sint),y?a(1?cost)的一拱及y?0绕x轴旋转的旋转体的体积。 5、求心形线r?a(1?cos?)的全长，其中a?0是常数。 6、求由曲线y?x?1,x?2,及y?2所围图形的面积。 x7、计算底面是半径R为的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体的体积。
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第六单元 定积分的应用测试题详细解答
一、填空题
1、1 y?ex与y?e及y轴交点为(1,e),(0,1)，取x微积分变量则
x1S??(e?ex)dx?ex|1?e|0?1 0012、
32 y?3?x2与y?2x交点为(?3,?6),(1,2)，取x微积分变量则 31132S??[(3?x2)?2x]dx?[3x?x3?x2]1?。 ?3?3333、2 S??1?1(1?x1?x2)dx??dx??x1?x2dx?2??1?11111221?xd(1?x) ??1212?2??(1?x2)2|1?1?2。
234、e?e?13?1?2 S??(ex?e?x)dx?[ex?e?x]10?e?e?2。
015、由旋转体体积公式知：
26、2a?x0 V???[f(x)]dx，?ax00b2ba2?xf(x)dx。
?x002。 ?y2dx??4?axd?x2a?x07、
a2dxdy? ?atcost,?atsint,
dtdt2S???0(atcost)2?(atsint)2dt??atdt?0?a2?。 28、
37 y??x(x?1)(x?2)，零点为x1??1,x2?0,x3?2,则 1202?10A???(?x3?x2?2x)dx??(?x3?x2?2x)dx?9、42 A??4037。 12?2?0|sinx?cosx|dx
5?42?4??(cosx?sinx)dx???(sinx?cosx)dx??5?(cosx?sinx)dx?42
41?a2a?10、(e?1) 由极坐标弧长公式得所求的弧长
a
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??S??0r2(?)?r'2(?)d???2a?0(ea?)2?(aea?)2d?
???01?a2a?1?aed??(e?1)
a160? 由??4(1?cos?)得x?4(1?cos?)cos?,y?4(1?cos?)sin?，??0时11、
??8?2，
0由
2元素法
V???ydx??????16(1?cos?)sin2??4(sin??2sin?cos?)d?
02??64??2(1?cos?)2sin2?(1?2cos?)d??160?。
0二、选择题
1、选（C）。以x为积分变量S?a(lnb?lna)?以y为积分变量S??lnb?(lnb?lnx)dx，
ablnaeydy。
12[?(?)]d?，知 ??2?2、选（D）。由极坐标曲边扇形面积公式A???11A??2?(2acos?)2d??2?2(2acos?)2d?。
02?223、选（D）。dA?11(ae?)2?a2e2?,22120A??120???122?aed?。 2214、选（B）。S??1?[ln(1?x)]'dx??221?x2??2x?21??dx??dx。 2?201?x?1?x?25、选（A）。由方程可以看到双纽线关于x轴、y轴都对称，只需计算所围图形在第一象限部分的面积；双纽线的直角坐标方程比较复杂而极坐标方程较为简单： ??cos2?。其在第一象限部分?的变化范围是：??[0,???4]。再由对称性得
1S?4S1?4??4?2d??2?4cos2?d?。
0206、选（B）。绕轴旋转所得旋转体的体积
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