《高等数学》单元测试及详细解答
（1）
dydy?(x?y)(x?y)，?cosy?x，（2）（3）y2dx?(y2?2xy?y)dy?0中，dxdx线性微分方程是（ ） (A)（1）； (B)（2）； (C)（3）； (D)（1）、（2）、（3）均不是。
6、曲线y?y(x)经过点(0,?1)，且满足微分方程y??2y?4x，则当x?1时，y?（ ） (A)0； (B)1； (C)2； (D)4。
7、已知微分方程y??p(x)y?xsinx有一特解y??xcosx，则此方程通解为（ ） (A)y?cxcosx； (B)y?c?xcosx； (C)y?cx?xcosx； (D)y??xcoscx。 8、设y?f(x)是方程y???2y??4y?0的解，若f(x0)?0，且f?(x0)?0，则f(x)在
x0点（ ）
(A)取得极大值； (B)取得极小值； (C)某邻域内单调增； (D)某邻域内单调减。 9、若y1和y2是二阶齐次线性方程y???P(x)y??Q(x)y?0的两个特解，c1、c2为任意常数，则y?c1y1?c2y2（ ）
(A)是该方程的通解；(B)是该方程的特解；(C)是该方程的解；(D)不一定是该方程的解。 10、曲线y?y(x)经过原点，且在原点处切线与直线2x?y?6?0平行，而y?y(x)满足方程y???2y??5y?0，则曲线方程是（ ）
(A)y??excos2x?1；(B)y??exsin2x；(C) y?excos2x?1；(D) y?exsin2x。 11、微分方程y???2y??x的特解y?的形式为（ ） (A)ax； (B)ax?b； (C)ax； (D)ax?bx。 12、微分方程y???4y?cos2x的特解y?的形式为（ ）
(A)acos2x； (B)axcos2x； (C)x(acos2x?bsin2x)； (D) acos2x?bsin2x。 三、计算解答
221、验证由方程x?xy?y?c所确定的函数y?f(x)是微分方程(x?2y)y??2x?y22的通解。
2、求解下列微分方程：
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（1）(xy2?x)dx?(y?x2y)dy?0； （2）xdy?y(lny?lnx)； dx（3）xy??y?xex；
（4）xlnxdy?(y?lnx)dx?0，yx?e?1； （5）y??1y?x2y6； x（6）(x2?y)dx?(x?y)dy?0； （7）y???1； 21?x（8）y???y??x； （9）yy???(y?)2?y?； （10）y???2y??y?xex。 3、设f(x)?x??x0f(u)du，f(x)为可微函数，求f(x)。
4、已知f(?)?1，曲线积分
?BAy[sinx?f(x)]dx?f(x)dy与路径无关，求函数f(x)。
x5、设y1(x),y2(x),y3(x)都是方程y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的特解，且
y1?y2不恒
y2?y3等于常数，证明y?(1?c1)y1?(c2?c1)y2?c2y3为方程的通解（其中c1,c2为任意常数）。 6、一质量为m的质点作直线运动，从速度等于零时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为k1）的力作用在它上面，此外质点又受到阻力，阻力和速度成正比（比例系数为k2），试求此质点的速度和时间的关系。
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第十二单元 微分方程单元测试题详细解答
一、填空题
1、微分方程的阶是指微分方程中含有未知函数最高阶导数的阶数，因此该方程是三阶微分方程。
2、该通解中含有两个任意常数，可见其所对应的方程应是二阶的，对y?C1ex?C2e2x分别求一阶和二阶导数得：y??C1ex?2C2e2x，y???C1ex?4C2e2x，三个式子连立消去
C1,C2得，y???3y??2y?0即为所求。
另解，直观看出y?C1ex?C2e2x是某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，而该二阶常系数线性齐次微分方程的特征根为r,r2?2，其对应的特征方程为r?3r?2?0，1?1从而对应的微分方程是y???3y??2y?0。
23、设曲线为y?y(x)，则由题意有：y?2xy??1即为所求。 x4、对f(x)?tf(?02)dt?ln2两边求导得f?(x)?2f(x)，解此微分方程得
2xt2xlnf(x)?2x?c，即f(x)?ce，又由f(x)??f()dt?ln2可知，f(0)?ln2，
022x2x代入f(x)?ce求得c?ln2，从而f(x)?ln2?e。
5、该方程为二阶常系数线性齐次微分方程，其特征方程为r?r?2?0，解得特征根
2r1?1,r2??2，从而通解为y?c1ex?c2e?2x。
6、以r从而对应的二阶常系数线性齐次1?r2?2为根的一元二次方程是r?4r?4?0，微分方程是y???4y??4y?0。
227、（1）错误，例如微分方程(y?)?y?0，该方程只有解y?0，显然这不是通解。
2（2）错误，例如微分方程y??y?0，易求得该方程的通解为y?是方程的解，显然y?0不包含在y?21，又知y?0也x?c1中。 x?c第33页
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（3）错误，因为y?c1ex?c2中的c1,c2不是相互独立的，事实上，
y?c1ex?c2?c1ec2ex?cex，可见该解中只含有一个任意常数。
（4）正确，根据线性微分方程解的结构理论，由于y1,y2不相等，所以y1?y2线性无关且是对应齐次方程的解，从而c(y1?y2)是对应齐次方程的通解，因此
y?c(y1?y2)?y2就是该方程的通解。
8、
?Q(x,y)?P(x,y)。 ??x?y9、根据线性微分方程解的结构理论，y?x?1和y?x2?1是对应齐次线性微分方程的解，又这两个解是线性无关的，所以y?c1(x?1)?c2(x2?1)是对应齐次线性微分方程的通解，从而y?c1(x?1)?c2(x?1)?1是该非齐次线性微分方程的通解
22xy?中不显含未知函数y，因此作变量代换令y??p(x)，则y???p?(x)，1?x22xp22代入方程得p??，变量分离法解此方程得p?c1(1?x)，即y??c1(1?x)，代21?x10、方程y???入初始条件y?x?0?3得c1?3，于是y??3(1?x2)，两边积分得y??x3?3x?c2，代入初始条件yx?0?1得c2?1，所以所求特解为y?x3?3x?1。
11、方程yy???(y?)2?0不显含自变量x，因此作变量代换时应令y??p(y)，则
y???dddpdydp(y?)?[p(y)]??p。 dxdxdydxdy3212、方程y????y??是三阶常系数线性齐次微分方程，其特征方程为r?r?0，解得特征
x根r1?r2?0,r3?1，从而通解为y?c1e?c2x?c3。
二、选择题
1、选(D)；由定义，含有未知函数导数或微分的方程称为微分方程，而未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，可见，(A)中的方程不是微分方程，(B)中的方程不含有未知函数y的导数，（C）中的未知数u是多元函数。
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2、选(A)；所谓微分方程的阶是指微分方程中含有未知函数最高阶导数的阶数，由此，(B)、(D)中方程是一阶微分方程，而(C)中的方程是三阶微分方程。
3、选(C)；由通解的定义，含有任意常数，且任意常数（相独立）的个数与方程的阶数相同的解称为通解，由此可见，（A）、（B）、（D）均不符合。 4、选(D)；按题意有线是椭圆。
5、选(C)；方程（1）、（2）可直观看出不是线性微分方程，对于（3），整理得视x为未知函数，y为自变量，则该方程是线性微分方程。 6、选(B)；方程y??2y?4x为一阶线性微分方程，其通解
?2dx2dxy?e?(?4xe?dx?c)?2x?1?ce?2x
1dy2x??，即ydy??2xdx，积分得y2?x2?c，可见，该曲
2dxydx21?x?1?，dyyy由x?0时y??1知c?0，所以曲线为y?2x?1，由此，当x?1时y?1。 7、选(C)；将y??xcosx代入方程y??p(x)y?xsinx，求出p(x)??通解为y?e1，于是方程x?xdx1(?xsinxe??xdx1dx?c)?x(?cosx?c)?cx?xcosx。
8、选(A)；由y?f(x)为y???2y??4y?0的解，得f??(x0)?2f?(x0)?4f(x0)?0，即
f??(x0)??4f(x0)?0，由极值判定定理知，f(x)在x0点处取得极大值。
9、选(C)；由线性方程解的结构定理，y?c1y1?c2y2一定是方程的解，当y1与y2线性无关时y?c1y1?c2y2才是方程的通解。
x10、选(B)；解方程y???2y??5y?0得其通解为y?e(c1cos2x?c2sin2x)，由
yx?0?0得c1?0，由y?x?0??2得c2??1，所以所求曲线为y??exsin2x。
11、选(D)；由特征方程r?2r?0解得特征根r1?0,r2?2，而x?xe特征根单根，所以特解应设为y?x(ax?b)e220?x，可见??0是
0?x?ax2?bx。
12、选(C)；由特征方程r?4?0解得特征根r1?2i,r2??2i，
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