《高等数学》单元测试及详细解答
?x??cos??用柱面坐标变换,令?y??sin??z?z?2?240???2?0???2 0?z?42?22????zdxdydz??d???d??zdz0?8?d???d??8??000000122?0d??32? 211、计算三重积分
???z?z?1，x2?y2dxdydz，其中?是y??2x?x2与平面z?0，
y?0所围成的闭区域。
解：
??x??cos??用柱面坐标变换,令?y??sin??z?z??20???2 0?z?121020112?2?d?????30d???62322?????0???z?x?ydxdydz???d???d??z?dz???d???200?2220012、计算三重积分区域。
解：
????x?2222其中?是球面x?y?z?1所围成的闭?y2?z2dxdydz，
??x?rsin?cos??用球面坐标变换积分，令：?y?rsin?sin??z?rcos??0???2?0????0?r?11
????x?2?y?zdxdydz??d??sin?d??r4dr?2??2?00022?2??14??55
?x2y2z2?x2y2z213、计算三重积分?????a2?b2?c2??dxdydz，其中?是球面a2?b2?c2?1所围成
???的闭区域。
解：
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?x?arsin?cos??用球面坐标变换积分，令：?y?brsin?sin??z?crcos??0???2?0????0?r?1
2??1?x2y2z2?144????dxdydz?d?sin?d?rdr?2??2??????????a2b2c2?00055 ???第十章 曲线积分与曲面积分
一、填空题
1、设L是xoy平面上沿顺时针方向绕行的简单闭曲线，且成的平面闭区域D的面积等于____________. 2、设曲线L是分段光滑的，且L=L1+L2，
?Lydx?xdy??9，则L所围
?f?x,y?ds=2，?f?x,y?ds=3，则
L1L2?f?x,y?ds=_________________.
L3、 设函数f?x,y?在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为
?x???t???y???t????t???，其中??t?,??t?在??,??上具有一阶连续偏导数，且
L?2?t???2?t??0，则曲线积分?f?x,y?ds=____________________.
4、设
L
是抛物线y?x2上点o?0,0?与点B?1,1?之间的一段弧
?Lyds=____________________.
5、设L是有向光滑曲线弧，且6、设
L
是从
?L??fdr?3则????f?dr=___________________。
LA?1,0?沿y?1?x2到
B??1,0?的圆弧，则
?xyLL2dy?x2ydx=___________________。
7、设L是平面有向曲线，由两类曲线积分之间的联系，则
?Pdx?Qdy??L___________________ds.
28、区域D由y?x和y?x所围成的闭区域，则区域D的面积为___________________.
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9、设L是任意一条分段光滑的闭曲线，则
?L2xydx?x2dy=___________________.
10、在xoy面上，xy2dx?x2ydy是某个函数的全微分，则这个函数是 ___________________.
11、设?是由平面x?0，y?0，z?0，及x?y?z?1所围成的四面体的整个边界曲面，则
??xyzdS= ___________________.
?12、设?是x2?y2?z2?1的外侧，则13第二类曲面积分___________________. 二、选择题
???x?2?y2?z2dxdy=___________________.
???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy化成第一类曲面积分为
?1、设曲面?是上半球面：x2?y2?z2?R2部分，则有（ ）. (A) (C)
?z?0?，曲面?1是曲面?在第一卦限中的
??xdS?4??xdS；(B) ??ydS?4??xdS；
??1??1??zdS?4??xdS；(D) ??xyzdS??1??4??xyzdS.
?1t2t32、设曲线L:x?t,y?,z?,?0?t?1?,其线密度??2y，则曲线的质量为（ ）.
23(A) (C) 3、(A)
24324；(B) t1?t?tdt2t1?t?tdt； ??0011?L101?t2?t4dt；(D)
2?10t1?t2?t4dt.
??x22?y2ds=（ ），其中L为圆周x?y?1.
2?2?2????20d?；(B)
?0d?；(C)
?0r2d?；(D)
?02d?.
4、设OM是从O?0,0?到点M?1,1?的直线段，则与曲线积分I?e?x2?y2OMds不相等的积
分是（ ） (A)
?e012x2dx；(B) ?e012y2dy；(C)
?20edr；(D) ?er2dr.
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5、设L为x????cost,y?sint,?0?t??，方向按t增大的方向，则
2???Lx2ydy?xy2dx=（ ）
(A)
??cost20?sint?sintcostdt；(B)
???20?costsintsintsint??2sint?2cost?2??dt； ??1(C) ?2dt； (D)
206、用格林公式计算
???cos20?t?sin2tdt.
??xL2ydy?xy2dx，其中L为沿x2?y2?R2逆时针绕一周，则得（ ）
(A) ??2?0d???d???0R3?R42；(B)
??0dxdy?0；
D2(C)
???D2?R3； (D) ???d?d??. x?ydxdy?22D22??R47、L是圆域D: x?y??2x的正向周界，则(A) ?2?；(B) 0；(C)
222??xL3?ydx?x?y3dy=（ ）
???3?； (D) 2?. 228、设?为z?2?x?y在xoy面上方部分的曲面，则(A) (C)
??dS=（ ）
?
??2?02?d??1?4r2rdr；(B)
0101?22?0d??201?4r2rdr；
2?00d??2?r21?4r2rdr； (D)
222??9、设?为球面x?y?z?k2??，则???x?d??2201?4r2rdr.
?y2?z2dS=（ ）
?(A)
??kdS?4?k?24；(B)
?0d??d??0?k04?k5rsin?dr?；
54(C)
?2?0d??rdr?0k3?k42； (D) 4?k.
10、设曲面?：z?0,x?1,y?1，方向向下，D为平面区域x?1,y?1，则（ ）
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??dxdy=
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(A) 1；(B)
??dxdy；(C) ???dxdy； (D) 0.
D11、设曲面?：z?0,x2?y2?R2的上侧，则
?D????x?42?y2dxdy=（）
?(A)
x2?y2?R2??Rdxdy??R24；(B) ?x2?y2?R2??Rdxdy???R2；(C)
?2?0d??rdr?0R3?R42；（D) 0.
12、设曲面?：x2?y2?z2?R2的外侧，则
???1?x2?y2?z322??xdydz?ydzdx?zdxdy?=（ ）
322(A)
????3x?y?z?22??3x2?y2?z2x2?y2?z2?x2?y2?z2??3?dv?0；
(B)
1R3???xdydz?ydzdx?zdxdy???21R3???3dv?4?；
?(C) 4?R；（D) 三、计算解答 1、
43?R. 3??x?y?ds，其中C为以O?0,0?,A?1,0?,B?0,1?为顶点的三角形的边界。
C2、
dsttt，其中为曲线上相应于t从0到2的x?ecost,y?esint,z?e?222??x?y?z这段弧。 3、计算I?弧. 4、
??xOA2?y2dx?xydy，其中OA是抛物线y?x2从O?0,0?到A?1,1?的一段
??dx?dy?ydz，其中?为有向闭折线ABCA，这里的A?,B,C依次为
?1,0,0?,?0,1,0?,?0,0,1?.
5、
?Cxy2dy?x2ydx，其中C为正向圆周x2?y2?R2。
6、计算
?Cxdy?ydx，其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线，L22x?y的方向为逆时针方向。
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