《高等数学》单元测试及详细解答
113V???ydy???(y)dy??(y2?y5)??。
0025100112217、选（C）。y'?x,从而弧长元素ds?1?(x)dx?1?xdx，所求弧长为
12122s??ba221?xdx?[(1?x)2]b?[(1?b)2?(1?a)2]。 a333338、选（A）。设L1为曲线y?sinx的一个周期的弧长，L2为椭圆2x2?y2?2的周长，显然
L1??2?01?y'2dx??2?01?cos2xdx，将椭圆化成参数方程
?x?cos?(0???2?) ?y?2sin??则L2??2?0(?sin?)?(2sin?)dx??222?01?cos2xdx从而有L1=L2。
32三、计算解答
1、解：切线方程分别为y?4x?3和y??2x?6，其交点坐标是(,3)，
9?S??(4x?3)dx??3(?2x?6)dx??(?x2?4x?3)dx?。
04233320?2、解：由对称性S?2??2012rd???2a2sin2?d??a2。
02?2?3、解：V?4、解：V??40?(cosx?sinx)dx??4?(1?2sinxcosx)dx?0?24??2。
?2?0?a(1?cost)d[a(t?sint)]??a223?2?0(1?cost)3dt
??a3?2?0(1?3cost?3cos2t?cos3t)dt?5?2a3。
5、解：由极坐标系下的弧微分公式得
ds?r(?)2?r'(?)2d??a?(1?cos?)2?sin2?d??2a|cos?2|d?，
?)以2?为周期，因而?的范围是??[0,2?]。又由于由于r?r(?)?a(1?cos 第6页
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r(??)?r(?)，心形线关于极轴对称。由对称性， s?2?ds(?)?4a?cos00???2d??8a。
6、解：由于y?x?1在x?1处取极小值 x1所以可得y?x?,x?1,x?2所围图形面积为
x21112A??(x??2)dx?(x2?lnx?2x)|1?ln2?。
1x227、解：取固定直径为x轴，x为积分变量且x?[?R,R]，过点x且垂直于x轴的立体截面面积为A(x)?3(R2?x2) 于是V?
?R?RA(x)dx??R?R3(R2?x2)dx?23?(R2?x2)dx?0R433R。 3第九单元 重积分
一、填空题
1、设?,?为常数，则
????f?x,y???g?x,y??d?=______________________
D2、区域D由闭区域D1,D2构成，则
??f?x,y?d?=______________________
D3、设函数z?f?x,y?在闭区域D上连续，则在D上至少存在一点??,???是D的面积，使得
??f?x,y?d?=______________________
D4、计算
??xyd?=______________________，其中 D是由直线y?1,x?2,y?x所围成
D的闭区域。 5、设
D
是顶点分别为
?0,0?,?1,0?,?1,2?,?0,1?的直边梯形，计算
???1?x?yd?=______________________
D6、改变下列二次积分的积分次序
?dx?fdy=______________________；
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?dx?122x?x22?xfdy=______________________；
33?y10?dy?012y0fdx??dy?fdx=______________________；
?x0du?f?v?dv=______________________；
0u7、把下列二重积分表示为极坐标形式的二次积分
x2?y2?4???x?y?dxdy=__________________________；
x?y2?2x2??y??f?x2?y2,arctan?dxdy=__________________________；
x??dxdy=______________________(D??x,y?1?x2?y2?4,y?x)；
?xe??D2??eDx2?y2??8、二重积分
?y2dxdy=__________________________，其中 D是由中心在原点、
半径为a的圆周所围成的闭区域。
9、将下列三重积分化为三次积分
????f?x,y,z?dv=__________________________，?为曲面z?x2?y2及平面z?1所围f?x,y,z?dv=__________________________，?为曲面z?r2?x2?y2及xoy面
成的闭区域；
????所围成的闭区域；
10、区域?为三坐标面及平面x?2y?z?1所围成的闭区域，则三重积分
???xdxdydz=__________________________.
?二、选择题
1、二、三、四象限的部分，则D1,D2,D3,D4分别为单位圆盘x?y?1在一、（ ） (A)
222x??yd?=D1??xD22yd?；(B)
??xD32yd?；(C)
??xD42yd?；(D)0.
22、D???x,y?x2?y2?1,x???，则
??1?2????xD?y2d?=（ ）
? 第8页
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(A)
?11?2dx?1?x2?1?x2?x2?y2?dy；(B) ?1?x2?1?x22dyx?ydx； 12??21??(C)
?1dx?1?2?11?x2?x2?y2dy；(D)
?222??dy. dxx?y1??11?2?13、?由不等式确定：z?x2?y2，x2?y2??z?1?2?1，则???f?x,y,z?dv=（ ）
?(A)
?20dzf?x,y,z?dxdy；(B)
,z?dxdy；
x2???y2?1?20dzx2???f?x,yy2?z2(C)
?2dzz?dxdy；(D) ?2??fdxdy??10x2?y2??f?x,y,?2z?z21dzx2?y2?2z?z20dz2???fdxdy.
xy2?z24、?为单位球：x2?y2?z2?1，则
???x2?y2?z2dxdydz=（）
?(A)
???dxdydz；(B)
???2?0d??10d??0?3sin?d?；
(C)
?2??12?0d??0d??0?3sin?d?；(D)
?2?0d??d??100?3sin?d?.
5、?由不等式确定：x2?y2?z2?1，z?x2?y2，则???zdxdydz?（ ）?(A)
??dxdy?1?x2?y2x2?y2zdz；(B) ?10dz
x2?y2?1x2???dxdy；y2?z22?1?r22??(C) ?2?120d??0drrzdr；(D)
?d??41100d??02r3sin2?dr.
6
、设
有空间
闭
区域
?1???x,y,z?x2?y2?z2?R2,z?0??2???x,y,z?x2?y2?z2?R2,x?0,y?0,z?0?，则有（ ）
(A) ???xdv?4???xdv；(B) ???ydv?4???ydv；
?1?2?1?2(C)
???zdv?4???zdv；(D) ???xyzdv?4???xyzdv.
?1?2?1?27、设有平面闭区域D???x,y??a?x?a,x?y?a?，
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，
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?x,y?0?x?a,x?y?a?。则???xy?cosxsiny?dxdy=（ ） D1??D(A) 2(C) 4??cosxsinydxdy；(B) 2??xydxdyD1D1D1；
???xy?cosxsiny?dxdy；(D) 0.
三、计算解答
1、设区域D??x,y?x?y?1，计算2、计算3、计算闭区域.
x4、计算??eD2??x?ye??dxdy. D2，其中D是由抛物线y?x及直线y?x?2所围成的闭区域. xydxdy?????xDD2?y2?xdxdy，其中D是由抛物线y?x，y?2及直线y?2x所围成的
??y2dxdy，其中D是由x2?y2?4所围成的闭区域.
5、计算闭区域.
???xD2?y2dxdy，其中D是由x??1?y2，直线y??1，x??1所围成的
?6、求锥面z?x2?y2被柱面z2?2x所割下部分面积.
2227、求底圆半径相等的两个直交圆柱面x2?y2?R2及x?z?R所围立体的表面积. 8、计算三重积分域. 9、
2222其中?是由x?y?z?1与x2?y2??z?1??1所围成的闭区域. ???zdxdydz，
???xdxdydz，其中?为三个坐标面及平面x?2y?z?1所围成的闭区
?2?10、计算三重积分11、计算三重积分
22?，其中是与平面z?4所围成的闭区域. z?x?yzdxdydz????222?z?1，zx?ydxdydz，其中是与平面z?0，y??2x?x????y?0所围成的闭区域.
12、计算三重积分区域.
????x?2222其中?是球面x?y?z?1所围成的闭?y2?z2dxdydz，
??x2y2z2?x2y2z213、计算三重积分?????a2?b2?c2??dxdydz，其中?是球面a2?b2?c2?1所围成
???
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