《高等数学》单元测试及详细解答
7、利用曲线积分求星形线x?acos3t,y?asin3t所围图形的面积。 8、9、
2222，为球面x?y?z?a??x?y?zdS???上z?h,0?h?a的部分。
???x??2?y2?z2dxdy，?为球面x2?y2?z2?1的外侧。
?10、计算
??xdydz?ydxdz?zdxdy，?为椭球面x?3332?y2?z2?1的外侧。
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第十单元 曲线积分与曲面积分测试题详细解答
一、填空题
1、设L是xoy平面上沿顺时针方向绕行的简单闭曲线，且
?Lydx?xdy??9，则L所围
成的平面闭区域D的面积等于
9 2分析：
??P?Q??ydx?xdy??L????y??x??dxdy??2??dxdy?9
?D?D2、设曲线L是分段光滑的，且L=L1+L2，
?f?x,y?ds=2，?f?x,y?ds=3，则
L1L2?f?x,y?ds=_5_. L分析：
?f?x,y?ds??LL1?L2f?x,y?ds??f?x,y?ds??f?x,y?ds?2?3?5
L1L23、 设函数f?x,y?在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为
?x???t???y???t????t???，其中??t?,??t?在??,??上具有一阶连续偏导数，且
，
2?2?t???2?t??0则
2曲线积分
?Lf?x,y?ds=?f???t?,??t????t????t?dt???????
4、设L是抛物线y?x2上点o?0,0?与点B?1,1?之间的一段弧
?Lyds=
155?1 121??分析：
?Lyds??10x21?x2???231?1222?dx??x1?4xdx??1?4x??55?1
012?12?01????5、设L是有向光滑曲线弧，且分析：
?L??fdr?3则????f?dr=_3_______。
L?????fdr?fdr?L?L?3
?6、设L是从A?1,0?沿y?1?x2到B??1,0?的圆弧，则
?Lxy2dy?x2ydx=
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?x?cos?分析：令：??y?sin?0????
?Lxy2dy?x2ydx??cos?sin2?cos??cos2?sin???sin??d?0???1?2sin2?d? ?0021?11?????1?cos4??d?????1?cos4??d4??404404??2cos2?sin2?d???7、设L是平面有向曲线，由两类曲线积分之间的联系，则
?Pdx?Qdy???Pcos??Qcos??ds
LL8、区域D由y?x2和y?x所围成的闭区域，则区域D的面积为
1 6分析：令:??L1:y?x2面积
?L2:y?xA?111xdy?ydx?xdy?ydx?xdy?ydx???LLL12222
1111111???x?x?dx???x2x?x2?dx??x2dx?20202069、设L是任意一条分段光滑的闭曲线，则分析：P?2xy?L2xydx?x2dy=_0________ Q?x2?P?Q? ?y?x??P?Q?2?2xydx?xdy???y??x??dxdy???0dxdy?0 ?L???D?D10、在xoy面上，xydx?xydy是某个函数的全微分，则这个函数是
22122xy?C 2?ux2y222?xy，u?x,y???xydx????y? 分析：设原函数为u?x,y?，则?x2?u?x2y????y?，则???y??0?y???y??C所以u?x,y??x2y2?C
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11、设?是由平面x?0，y?0，z?0，及x?y?z?1所围成的四面体的整个边界
曲面，则
??xyzdS=
?3 120分析：在x?0，y?0，z?0三个坐标面上，积分值为0。 则只求在x?y?z?1面上的积分即可。
?z?1?x?y，1?z?x?zy?1???1????1??3.
2222所以
原式??xdx?0111?x0y?1?x?y?3dy1?x?y2y3??3?x??1?x???dx023?0??313234x?3x?3x?xdx?6?0120
??12、设?是x?y?z?1的外侧，则
222???x?2?y2?z2dxdy=2?
?2222分析：把积分曲面?分成?1:z?1?x?y和?2:z??1?x?y两部分，则
它们在xoy面上的投影区域都是x2?y2?1的圆域。
???x?2?y2?z2dxdy???x2?y2?z2dxdy???x2?y2?z2dxdy
?1?2????????x?12?y2?z2?dxdy?Dxy???x2?y2?1?x2?y2?dxdy?Dxy??dxdy??
???x?22?y2?z2dxdy??Dxy2???x2?y2?1?x2?y2dxdy??Dxy??dxdy??
???x??y2?z2dxdy???x2?y2?z2dxdy???x2?y2?z2dxdy?2?
?1?2?????13第二类曲面积分
??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy化成第一类曲面积分为
????Pcos??Qcos??Rcos??ds
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二、选择题 1、选(C) 解答：在第一卦限，对三个坐标xyz的曲面积分相等，即而z在一、二、三、四卦限中的积分值相等。所以2、选(A) 解答：M?3、选(B) 解答：??xL2??xds???yds???zds，
?1?1?1?1?1??zds?4??zds?4??xds
??L?ds??t1?t2?t4dt
021?yds??1?0?2??cos???2??sin??d???d?
0?22?4、选(D) 解答：I?e?x2?y2OMds??e012y?12?12dy??e012y?2dy?e2?1
x?rcos?,y?rsin?,???42,0?r?2
222I??ex2?y2OMds??e?cos??sin?dr??erdr?e002r?1
5、选(C) 解答：
1cost1?sint?2?xydy?xydx?cost?sint??cost?sint??L?0??dt22sintcost??22?1??1???2?cos2t?sin2t?dt?024?2?6、选(B) 解答：
?
??Q?P?22?xydx?xydy???x??y??dxdy???0dxdy?0 ?L???D?D??Q?P??ydx?x?y3dy??????x??y??dxdy???2dxdy?2?
?D?D7、选(D) 解答：
??xL3???8、选(D) 解答：x?rcos?,y?rsin?,0???2?,0?r?2
2222?????1?z??z?1?2x?2y?1?4r2,??ds??d??xy2?2?001?4r2rdr
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