《高等数学》单元测试及详细解答
的闭区域.
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第九单元 重积分测试题详细解答
一、填空题
1、设?,?为常数，则
????f?x,y???g?x,y??d?=???f?x,y?d?????g?x,y?d?
DDD2、区域D由闭区域D1,D2构成，则
??f?x,y?d?=??f?x,y?d????g?x,y?d?
DD1D23、设函数z?f?x,y?在闭区域D上连续，则在D上至少存在一点??,???是D的面积，使得
??f?x,y?d?=f??,????
D4、
9=，其中 D是由直线y?1,x?2,y?x所围成的闭区域。 xyd???8Dx2分析：
??xyd???????D12x1xydy?dx???1?232?x?y2??x4x2?x?9??xdx??dx??? ?2??8???1?2248??1????15、设D是顶点分别为?0,0?,?1,0?,?1,2?,?0,1?的直边梯形，计算分析：
7= ??1?xyd???D3x?111722???????? 1?xyd??1?xydydx?1?xdx?1?2x?xdx????????0?000??3D1??6、改变下列二次积分的积分次序
?102dx?fdy??dy?fdx；
0002x?x22?x111?dx?1fdy??dy?011?y2?12?yfdx；
23?x?10dy?2y0fdx??dy?133?y0fdx??dx?x0fdy；
2?x0du?f?v?dv??dv?f?v?du；
000uxv7、把下列二重积分表示为极坐标形式的二次积分
x2?y2?4???x?y?dxdy??2?0d????cos???sin???d?；
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x2?y2?2x??2cos?y??f?x2?y2,arctan?dxdy??2?d???2,??d?；
0?x??2?????eDx2?y2dxdy??d??e??d?；
012?28、二重积分
??eD?x2?y2dxdy=?1?e?a，其中 D是由中心在原点、半径为a的圆周所围
?2?成的闭区域。 分析：0???a,2?0???2?
2?原式=
?0?e???0a??2?d??d?????01?1??2??a2?ed??1?e??2?2?01a???2?0d???1?e?a
?2?9、将下列三重积分化为三次积分
???f?x,y,z?dv???2?0d???d??fdz，；
01????f?x,y,z?dv???2?0d?r??d??01r2??20； fdz，
10、区域?为三坐标面及平面x?2y?z?1所围成的闭区域，则三重积分
???xdxdydz=__________________________
?分析：
?10dx?1?x20dy?1?x?2y0xdz??xdx?011?x20?1?x?2y?dy?1?0?x?2x2?x3?dx?141 48二、选择题 1、选(A)；
解答：xy在第一象限和第二象限是对称的。所以在第一二象限的值相等。 2、选(A)； 3、选(D)； 解答：z?2x2?y2与x2?y2??z?1?2?1相交的部分可分为两部分
0?z?1时，为锥体?x,y,z?z?x2?y2 1?z?2时，为半球体?x,y,z?z?1?1?x2?y2
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4、选(B) 解答：注意，计算时x2?y2?z2?1 5、选(C) 6、选(C) 7、选(A) 三、计算解答
1、设区域D??x,y?x?y?1，计算
??x?ye??dxdy. D1?x?1解：
??eDx?ydxdy??edx??10xx?1?x?1edy??edx?0yxx?1eydy?e?e?1
2、计算解：
??xydxdy，其中D是由抛物线yD2y?2222?x及直线y?x?2所围成的闭区域。
??dy??xxydxdy?xydx???????1?y2?1?2???D3、计算
?1?y4y?5y?dy???y3?2y2???5
2?436?8?y2?1y?2462???xD22?y2?xdxdy，其中D是由抛物线y?x，y?2及直线y?2x所围成的
?闭区域。 解：
???xDD?y2?xdxdy??dy?yx2?y2?xdx?022?2y??13 64、计算
xe???y2dxdy，其中D是由x2?y2?4所围成的闭区域。
2?22解：
xe??D2?y2dxdy??d??errdr???e4?1?
005、计算
???xD22?y2dxdy，其中D是由x??1?y2，直线y??1，x??1所围成的
?闭区域。 解：
???xD?ydxdy??d??rrdr???12?3?2223?2??r4?23??d??? ?4?18??6、求锥面z?解：
x2?y2被柱面z2?2x所割下部分面积
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?z2?x2?y2?x2?y2?2x,投影区域D：x2?y2?2x; ?2?z?2x?z??xxx2?y2
?z??yyx2?y2?
?1?z?2 x?zy??2??2cos?2d??22所以面积A???D2dxdy?2?2d??02cos?02rdr?22?022?
7、求底圆半径相等的两个直交圆柱面x2?y2?R2及x?z?R所围立体的表面积。 解：z?22??zR2?x2 1?z?xy?222RR?x22,所以
?A?16??1?z?x?zydxdy?16??DD22RR2?x2dxdy?16?dx?0RR2?x2RR2?x20dy?16R28、计算三重积分域。
解：
???xdxdydz，其中?为三个坐标面及平面x?2y?z?1所围成的闭区
?1?x201?x20???xdxdydz??dx??01dy?1?x?2y0xdz??xdx?01?1?x?2y?dy
111??x?2x2?x3dx?4048??9、
2222其中?是由x?y?z?1与x2?y2??z?1??1所围成的闭区域。 ???zdxdydz，
2?解：
?z3???1??d?zdxdydz??d???d??zdz??d???????001??00?3????
2?12??????2??3?2?41d???003322?1?22?1??10、计算三重积分解：
22?，其中是与平面z?4所围成的闭区域。 z?x?yzdxdydz???? 第15页