《高等数学》单元测试及详细解答
而cos2x?e0?x(cos2x?0?sin2x)，可见???i?2i是特征根，所以特解应设为
y?xe0?x(acos2x?bsin2x)?x(acos2x?bsin2x)。
三、计算解答
1、解：将x2?xy?y2?c两边对x求导得，2x?y?xy??2yy??0，
整理得， (x?2y)y??2x?y，
可见，由方程所确定的函数y?f(x)满足微分方程(x?2y)y??2x?y， 又 x2?xy?y2?c中含有一个任意常数，
所以由方程x2?xy?y2?c所确定的函数y?f(x)是所给微分方程的通解。
2、（1）解：变量分离得，
ydyxdx， ?22y?1x?1两边积分得，
111ln(y2?1)?ln(x2?1)?lnc， 222从而方程通解为 y2?1?c(x2?1)。 （2）解：整理得，
dyyy?ln，可见该方程是齐次方程， dxxxydydudu?u?x?ulnu， 令?u，即y?xu，则，代入方程得，u?xxdxdxdx变量分离得，
dudx?，积分得，ln(lnu?1)?lnx?lnc，
u(lnu?1)xy?1?cx，或写为y?xecx?1。 x所以原方程的通解为ln（3）解：整理得，y???1y?ex，可见该方程是一阶线性方程，利用公式得通解为 xy?e?xdx1(?eex?xdx111dx?c)?(?xexdx?c)?(xex?ex?c)。
xx（4）解：整理得，
dy11?y?，这是一阶线性方程，利用公式得通解为 dxxlnxx 第36页
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y?e??xlnxdx11?xlnxdx1lnx1ln2x(?edx?c)?(?dx?c)?(?c)， xlnxxlnx2111)。 ，从而所求特解为y?(lnx?2lnx21代入初始条件yx?e?1得c?（5）解：整理得，yy???61?5y?x2，这是伯努利方程， x52令y?5?u，则?5y?6y??u?，代入方程得，u??u??5x，这是线性方程，其通
x解为，u?e?xdx5(??5xe2??xdx555 dx?c)?x5(??5x?3dx?c)?x5(x?2?c)?x3?cx5，
22?53x?cx5。 2所以原方程的通解为 y?5（6）解：令P(x,y)?x2?y,Q(x,y)??(x?y)，则微分方程，于是有
?Q?P???1，可见该方程是全?x?yu(x,y)??(x,y)(0,0)(x?y)dx?(x?y)dy??xdx??02x2y0x3y2?(x?y)dy??xy?
32x3y2?xy??c。 所以原方程通解为 32（7）解：将方程两边逐次积分得，y??1?1?x2dx?arctanx?c1， 1y??(arctanx?c1)dx?xarctanx?ln(1?x2)?c1x?c2，
212即原方程通解为y?xarctanx?ln(1?x)?c1x?c2。
2（8）解：方程中不显含未知函数y，所以可令y??p(x)，则y???p?(x)，代入方程得，
p??p?x，这是一阶线性方程，其通解为
p?e?(?xe?dx?1dxdx?c1)?ex(?xe?xdx?c1)?ex(?xe?x?e?x?c1)??x?1?c1ex，
12x?x?c1ex?c2。 2x从而y???x?1?c1e，两边积分得原方程通解为 y?? 第37页
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（9）解：方程中不显含自变量x，所以可令y??p(y)，则y???pdp，代入方程得， dyypdpdpdyy?c1y?c1，即y??，变量分离?p2?p，整理得??，积分得p?dyp?1yyy并积分得y?c1ln(y?c1)?x?c2，此即为原方程的通解。
（10）解：由特征方程r?2r?1?0解得特征根r1?r2??1，所以对应齐次方程的通解为Y?(c1x?c2)e?x。
x又因为xe中??1不是特征根，所以可设原方程的特解为y??(ax?b)ex，代入原
2方程并整理得，4ax?4a?4b?x，从而a?111,b??，即y??(x?1)ex。 4441x所以原方程的通解为y?(c1x?c2)e?x?(x?1)e。
43、解：将f(x)?x?性微分方程，所以
?x0f(u)du两边对x求导并整理得，f?(x)?f(x)?1，这是一阶线
dx?1dxf(x)?e?(?e?dx?c)?ex(?e?xdx?c)?ex(?e?x?c)，
又由f(x)?x??Bx0f(u)du可知f(0)?0，从而c?1，
所以所求f(x)?ex?1。 4、解：因曲线积分
y[sinx?f(x)]dx?f(x)dy与路径无关，所以有 ?Ax11sinxf?(x)?[sinx?f(x)]，整理得f?(x)?f(x)?为一阶线性方程，所以
xxx?f(x)?e?xdx1sinx?xdx11(?edx?c)?(?sinxdx?c)?(?cosx?c)，
xxx1又因f(?)?1，得c???1， 所以所求f(x)?1(?cosx???1)。 x5、证明：因为y1(x),y2(x),y3(x)都是方程y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的特解，
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所以y1?y2和y2?y3都是方程y???P(x)y??Q(x)y?f(x)对应齐次方程的解， 又因
y1?y2不恒等于常数，所以y1?y2和y2?y3线性无关，
y2?y3从而对应齐次方程的通解为Y?c1(y1?y2)?c2(y2?y3)， 所以原方程的通解为y?Y?y1?c1(y1?y2)?c2(y2?y3)?y1， 即y?(1?c1)y1?(c2?c1)y2?c2y3。
6、解：设质点速度和时间的关系为v?v(t)，则由题意有mv??k1t?k2v,v(0)?0，
整理得v???k2kv?1t，这是一阶线性方程，从而 mmkkkkv?e?mdtk222dt?2tt?2tk1t?mk1tmk1mk1m(?edt?c)?e(?edt?c)?t?2?cem， mmk2k2由v(0)?0得c?mk1， 2k2k2tk1mk1mk1?m所有所求v(t)?t?2?2e。
k2k2k2
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