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第一章 行列式
一、2、3阶行列式---之计算方法：对角线法则 1、
ab?ad?cb cdabehcf?(aei?bfg?cdh)?(ceg?bdi?afh) i2、dg3、克莱姆法则（见课本p84?85页） 4、补充习题：
ae00x?11（1）计算：a）2 b） 0ab c） bxx2?x?10cdca2b2c2a3b3（答：abc(b?a)(c?a)(c?b)）
c31a12特别地：Vandermonde（范德蒙）行列式结论a1...1a22a2...........................1an2?an...1?j?i?n?(ai?aj)
n?1n?1a1n?1a2......ank34（2）解方程：?1k0?0
0k1a11（3）填空：0?10?0的充分必要条件是 4aa二、n阶行列式
1、n阶行列式定义：行列式的值等于第一行（列）的元素与其对应的代数余子式乘积之和。 2、概念：元素aij余子式Mij及代数余子式Aij?(?1)i?j?Mij
000...0...0a10n(n?1)...?(?1)2?a1a2...an 003、计算行列式方法：行列式的值等于任一行（列）的元素与其对应的代数余子式乘积之和。
00a2...0?a1a2...an??ai；4、结论：（1）（2）...............i?1000...ananna10...0...a2......00...an?1...a1(2)证明：设Dn?a2...an，以后都按第一行展开
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a2Dn?a1(?1)n?1a3?a1a2(?1)n?1?(?1)n??...??ai(?1)(n?1)?n???3
nai?1nannnn(n?1)??a(n?1)?n???3i(?1)?2
i?1?n(n?4)(n?1)ai(?1)2?i?1?ai(?1)i?1【-1的指数可以全部下降2，由1到n-1，更好理解】
5、例题与习题：
00?0100?20n(n?1)（1）计算：a） ?????（答：(?1)2n!） 0n?1?00n0?000...01按第一列展开0【解：原式???????(?1)n?1?n0...20.........?(?1)(n?1)?n?n(n?1)...n?1...00n?2(n?4)(n?1)n(n?1)?...?(?1)(n?1)?n?...?3?n!?(?1)2?n!?(?1)2?n!】
010?050000010002?000001002b) ?????（答：(?1)n?1n!）c）00020； d）000000?n?100300000n00?004000500x010（2）解方程：
00020x00?1； （答：x??16）
3405a00...00000...0b（3）计算n阶行列式
000...b0(n?1)(n?2) （答：(?1)2...............?abn?1）
00b...000b0...00bb【解：原式Dbn?a??ab(?1)n??ab2(?1)n?(n?1)bb(n?2)b(n?1)mshzq
1...
0000030；（c、d答：5!）0400b??
(n?3)
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n?1n?(n?1)???3?ab(?1)三、n阶行列式的性质 1、性质
?ab(?1)n?1(n?2)?(n?3)???3?2?1?(?1)(n?1)(n?2)2?abn?1】
T（1）、转置行列式值不变，即A?A。
（2）、任意两行（列）互换，值改变符号。 （3）、如果有两行（列）的对应元素相同，或对应成比例，行列式值为零。
【补：行列式某一行（列）的所有元素全为零，行列式值为零】 （4）、行列式某一行（列）的所有元素乘以k，等于k乘以该行列式。（提取公因子！） （5）、将行列式某一行（列）的所有元素乘以k后，再加到另一行（列）的对应元素上，行列式值不变。 （6）、行列式的任一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和为零。 2、行列式计算约定记号：
1互换行列式的某两行（列），即ri?rj（ci?cj）【值变号】 ○
2非零数k遍乘某行（列），即kri（kci）【提取公因子】 ○
3某行（列）遍乘k加到另一行（列），即ri?krj（ci?kcj）【值不变】 ○
3、特殊行列式的计算
a1b1...00...0000..b1a10a2...（1）二条线型： 形如D1?.........0c01...0000...an?1...0000...a20...或D2?............... bn?1bn?1an?1...00an0an0...0c【称为二线型行列式，可以按照第一列或最后一列降阶展开】
0...100...01............例题：○
0n0...00...0002...；○...n?1n?1002?1...0...00............ 0...000...0n00（2）三对角型和次三对角型
?1例题：计算n阶行列式Dn?...002...0.........000... ---【重点题型】
...2?1...?12?1?1...00000按第一列展开0??????2Dn?1?Dn?2
00...02...?1...解：按第一行展开Dn?2Dn?1?(?1)1?2............0...?12
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即是Dn?Dn?1?Dn?1?Dn?22?1） ???D2?D1??2?1（递推关系！
?12于是Dn?Dn?1?1?Dn?2?2???D1?(n?1)?2?(n?1)?n?1 （3）“两岸”行列式
x?aa1计算行列式：○Dn?...a...a12aa2...ax?a...a2D?3D?1；*○；○0nn.....................a1a...a111...10...03...0 ......a...ax?aaa...an100...x?aa...a11...1解：○1Dax?a...a将n?.........?????2,3...n行全加到1行[x?(n?2)a]ax?a...a......... aa...x?aaa...x?a10...0x?2a?x...0依次后列x?(n?2)a]ax?2a0按第一0x?2a...0减去前列????[.........????行展开[x?(n?2)].........
a0...x?2a00...x?2a(n?1阶)?[x?(n?2)a](x?2a)n?1
a1a...aa1a?a1...00○2D?aaa后列减aa2?a...002...n.........????前一列............【2010-10-24有了正解！】
aa...aa0..an?1?aa?an?1na0...0an?aaa11?a?10...0n1?aa1?a??aa第aa1行起n2?a1?1...0i?i?a00...0??????......其他行加n1?1...0各提取a????i?a?(ai?a)......i?1?(aaa22?ai?........ aan?1?a00...?1到第一行a)i?1...a00...?1aan?a00..1aan?1?aan?a00..11?1按第一nnnn行展开???(1??a)i?1ai?a?(a1?ai?a)?(1)i?1??1??i?1ai?a?(ai?a) i?11mshzq
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113D?1○n1201...1110...02依次各行提取各行乘（?1）13...0??????n!301...0?????n!1,2,?,n加到第一行........................100...1100...nn111...10...01??1kk?21213n0100...00...0
1..0...1...1n......00?n!?(1??)1kk?2n1?1(n?1)?n!?(1??1) kk?2n4、例题与习题
12（1）计算
342341341241（答案：160） 【注意：各行（列）元素之和为10！】 231a1?1...000a2......000...?1000（答案：1） ...an1?an?11?a10（2）计算n?1阶行列式
...001?a2......00......1?an?1【提示：将第一行加到第二行，所得第二行再加到第三行，如此继续，可解之！】
123...n1x?13...n2x?1...n?0（答案：x?1,2,...,n?1） （3）解方程1............123...x?1【提示：行列式第二行起，每一行减去第一行，可解！】
a1a2（4）计算n阶行列式...an?1an?1x...000...00?1...00.........（答案：a1xn?1?a2xn?2?...?an?1x?an） 0...x?10...0x【提示：从第一行起，每一行乘以x后逐次加到下一行，再按最后一行展开！】
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2024011010124?1?22?37?14（答案：6） （6）（答案：9） 15?92722?512mshzq