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x（7）
yx?yxyx?y2222?xx?y222?x2x（答：?2(x3?y3)）（8）（答：x2y2）
22?y22y2?y222x
ax
a
a...a
a...a
x...a（答：[x?(n?1)a](x?a)n?1）---【重点题型】
a
（9）计算n阶行列式a
............aaa...x
12*（10）32343...4...5...n1n(n?1)nn?1(n?1)22（答：(?1)）---【重点题型】 ?2............n12...n?1n(n?1)，有 2111?【解：各行都加到第一行，后提取
1232343...4...5...n11230110?01n(n?1)2?2............n12...n?11按第一行展开1最后一列n(n?1)2???????依次减前一列2????n12?n?111?n1第一行乘?1n(n?1)???????加到各行2111?n1各列加到n?1n(n?1)...????最后一列211?1?1...?1?1(n?2阶)
10...234?345?1?1?n1?1
?1???n1?n1?10......11?nn...nn...?n...00?11?11?1?nn(n?1)?????????211?n?11?n1?11各提取n(n?1阶)
0?n...?n0...10...1?1...001...110...00...?1n(n?1)n?2?????n?.........第二行起20?1...0?10...00...(n?1阶) 000?1?10按最后列展开???nn?1(n?1)?(?1)n?(?1)2mshzq
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1各行提???nn?1(n?1)（??1）n（??1）n?11取（?1）2...(n?2阶)
11?nn?1(n?1)（??1）n（??1）n?1?(?1)n?112...(n?3阶)??
1n(n?1)?nn?1(n?1)（??n?1n?(n?1)???32?nn?1(n?1)21）（??1）?(?1)2【注意：(?1)n?1?(?1)n?1】四、本章小结（略）
-----------------------------------------【人生不如意者十之八九，所以要常思一二】 第二章 矩阵
一、关于矩阵的一些概念
??a11a12...a1n???a11a12...a1n?m?n矩阵：?a21a22...a?2n??； n阶方阵：?a21a?22...a2n?.........??.........??；
?am1am2...a??mn?m?n?an1an2...a?nn?n?n
同型矩阵：行列数相同的矩阵；
??a1????a1?行矩阵：?a1a2...a?a2?；对角矩阵：?a?2n?；列矩阵：?????； ??????an????a?n???a11a12...a1n??0...0??上、下三角矩阵：?0a...a??a11222na22...0???.........??；?a21?.........??11?；单位矩阵E或I：???00...a??nn??an1an2...a???nn??零矩阵O：元素全部为零的矩阵。 二、矩阵的运算
1、同型矩阵的加减法 2、数乘矩阵：?A?(?aij)m?n
3、矩阵左乘积：设A?(aij)m?s，B?(bij)s?n，则乘积AB?C?(cij)m?n是个m?n矩阵
其中cij?ai1b1j?ai2b2j?...?aisbsj【即A的第i行与B的第j列对应元素乘积之和为cij】 注意：
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????；
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1A的列数=B的行数，A才能左乘B；其积AB为A的行数，B的列数 ○
2一般不满足交换律：AB?BA，如若AB?BA，则称A、B是可交换的 ○
3不满足消去律：当AC?BC且C?O，也没有A?B ○
4两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵 ○
4、运算律：○1结合律(AB)C?A(BC) ○2左右分配律 ○3数乘结合律
04幂：规定A?E，Ak○
??A...A，AkAl?Ak?l，(Ak)l?Akl【注意：(AB)l?AlBl】
k个5、矩阵的转置：设A?(aij)m?n将行列依次互换，为A的转置矩阵，记作：AT?(aji)n?m
性质○1(AT)T?A ○2(A?B)T?AT?BT ○3(kA)T?kAT ○4(AB)T?BTAT 6、当A?A时，称A为对称矩阵 7、例题与习题：
T?1???10（1）已知B?2，C?(3?11)，且A?BC 求A---【重点题型】
????1???3?11???【解：BC?6?22，CB?2，A2?(BC)(BC)?B(CB)C?2BC， ????3?11???3?11???A3?(BC)(BC)(BC)?B(CB)(CB)C?22BC，如此类推，有A10?29BC?29?6?22?】
??3?11??（2）矩阵A为三阶矩阵，若已知|A|?m，求?mA
【解：?mA?(?m)A??m34】
5????10?0??? 15? 1?????? 02?0??10123?1?2?412 0????????312?1??02? 123???????（3）计算○1?246???1?2?4?○2?3?????01 1?○031 0?212??10???369?? 1 2 4??30?1?????????03?a00??000?3n?1?2??11?????（4）计算○1?2?3?0b0? ○4?a00? ○○???3 4? ?01? ?bc0??00c?????n5?2?1?5○??3?2??（答：n为奇数时，本身；n为偶数时，单位矩阵） ??mshzq
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?103??100?????（5）已知A??021?，B??021? 求○1?A?B??A?B?；○2A2?B2，可得出什么结论？
?001??301?????（6）判断题○1(AB)T?ATBT；【错】○2A2?E2?(A?E)(A?E)；【对】
23若A?O则A?O；【错】○4若AX○
?AY且A?O，则X?Y；【错】○5(AB)k?AkBk。【错】
（7）若A，B时可交换的，即AB?BA，求证○1(A?B)2?A2?2AB?B2；2?A?B??A?B??A2?B2 ○（8）单项选择题
1设有矩阵A3?2,B3?3,C2?3,D3?1，则下列运算中没有意义的是（ D ） ○
(A)BACD； (B)AC?DD?B； (C)AB?3C； (D)AC?DD
TTT?10a??1??a???????2若2?10?0?2，则a?（ C ） ○????????011?????1?????1??(A)
111 (B) (C) (D)1 4323设A，B均为n阶矩阵，A?O且AB?O，则下列成立的是（ D ） ○
22222(A)BA?O (B)B?O (C)(A?B)(A?B)?A?B (D)(A?B)?A?BA?B
4设A，B均为n阶矩阵，则下列命题正确的是（ B ） ○
22233(A)若A?E，则A?E 或?E (B) 若AB?BA，则(A?B)(A?AB?B)?A?B
kkk(C)若k正整数，则(AB)?AB (D)若矩阵C?O且AC?BC则A?B
5设A为m?n矩阵，则下列结论不正确的是（ A ） ○
(A)AA?AA是对称矩阵 (B)AA是对称矩阵 (C)E?AA是对称矩阵 (D)AA是对称矩阵
TTTTT?101???nn?16设A?020，n为正整数，且n?2，则A?2A?（ C ） ○????101?? (A) 2A (B)E (C)O (D) 22nn?1A
?101??202??101???????232【解：A?020?040?2A，A?020?2A，如此类推
??????????101???202???101??有A?2Ann?13?2n?1A?2?2n?2A?O，故选C】
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7设A，B均为n阶上三角矩阵，则下述结论中不正确的是（ D ） ○
(A)A?B仍为上三角矩阵 (B)kA 仍为上三角矩阵 (C)AB仍为上三角矩阵 (D)AB仍为上三角矩阵
TT8设矩阵B?(,0,...,0,)为1?n矩阵。记A?E?BB，C?E?2BB则AC?（ C ） ○
T(A)0 (B) ?E (C)E (D) E?BB
T1212【提示：AC?(E?BTB)(E?2BTB)?E?BTB?2(BTB)(BTB)?E?BTB?2BT(BBT)B】
?1???Tn9设矩阵A??0?，矩阵B?AA，n为正整数，则B?（ A ） ○
?1???(A)2n?1B (B) 2nB (C) 2n?1B (D) 2n?2B
?1??101??1???????TT【提示：B?AA??0??101???000?，而AA??101??0??2
?1??101??1???????所以，B2?(AAT)(AAT)?A(ATA)AT?2AAT，B3?(2AAT)(AAT)?22AAT，如此类推
有答案B?2三、矩阵的初等变换
1、矩阵的秩：阶梯型矩阵下的非零行的行数r为矩阵的秩，记作r(A)?r 2、矩阵的三种初等变换【主讲---初等行变换】
1对换变换：互换矩阵的两行（列），即ri?rj（ci?cj） ○
2倍乘变换：非零数k遍乘某行（列），即kri（kci） ○
3倍加变换：某行（列）遍乘k加到另一行（列），即ri?krj（ci?kcj） ○
结论：
☆初等矩阵：单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵
☆矩阵等价：矩阵A经过有限次初等变换得B，称A与B等价，记作：A?B 【用途：化矩阵为阶梯型矩阵（即可求矩阵的秩）；求逆矩阵；解线性方程组】 3、例题与习题
（1）用初等行变换化下列矩阵为阶梯型，写出它的秩
nn?1B，故答：A】
?11????21?22?16????2??1?211?2431?23?? ○○?? ○3?1????581181?2?????1?2?4??03?1?2???1?45?????123?17? ○4?3?211???05?10???435???30??2?
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