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?13?1?2?(2)?2(1)?13?1?2??13?1?2???(3)?3(1)??(3)?(2)??2?1230?7470?747??(4)?(1)??(4)?(2)??【解：○3? ??????????????32110?7470000???????1?43????5?7?00???0?74?00?是阶梯型了，2个非零行，所以，它的秩为2】
?010???（2）100????001??2009?123??001??456??010???????789????100??2010?456??
123??????789??3?010??100??010??100??010??010?????????????【解：100?010，100?010?100?100 ????????????????001???001????001???001????001????001???010???如此类推，奇指数的，有100????001??220092?010??
??100????001??2010?001??100??001???????同理，010?010，于是归纳，偶指数的，有010??????????100???001???100???010??123??100???????故，原式?100?456?010?????????001????789????001??四、逆矩阵与矩阵方程
?100???E
??010????001???010??123??456??100???456???123?】 ????????001????789????789???1?11、逆矩阵：n阶矩阵A，B，使得AB?BA?E，称A，B是可逆的，记作A?B且B?A
显然，依定义，就有结论：AA?1?A?1A?E
2、n阶矩阵A可逆的充分必要条件是A?E；或A?0【称A是非奇异矩阵，亦称满秩矩阵】
?100???例如：3阶单位矩阵E??010?，E?1?0，它是满秩的
?001???1???21?1?21?(2)?2(1)?1?21??1?21???(1,2)??(3)?(1)?????21???????211???????0?33???01?1?秩为2，不满！而?1
?1?1?03?3??001?2?1?2?0??????????2况且，从行列式的值：11113、性质：
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?21?0，也说明，它不是满秩的！
1?2
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1(A?1)?1?A；○2(kA)○
?16AA?E?○
?1?1?1A；○3(AB)?1?B?1A?1；○4(AT)?1?(A?1)T○5AB?A?B kAA?1?1?A?A?1?1（互为倒数关系）
【○3证明：因为(AB)(B?1A?1)?A(BB?1)A?1?AA?1?E，于是(AB)?1?B?1A?1】 【○4证明：因为AT(A?1)T?(A?1A)T?ET?E，于是，(AT)?1?(A?1)T】 4、逆矩阵的求法○1(A?E)?初等行变换2伴随矩阵法：A????(E?A?1)；○【伴随矩阵：设A?(aij)n?n，Aij是A中元素aij的代数余子式，
?1?1*?A A?A11?A12*矩阵A??????A1n5、解矩阵方程： 1AX○
A21?A22?A2nAn1??An2??称为A的伴随矩阵。】
???Ann??B型【解法一：(AB)?初等行变换????(EX)；解法二：可先求A?1，则X?A?1B】
TTT1解出X，于是X?(X)】 ?BT，有ATXT?BT，依○
2XA?B型【对原方程两边转置，(XA)T○6、例题与习题
?a100?0a02?（1）求逆矩阵○1?00a3??.........??000?a1?10??...0??0?...0?（ai?0，i?1,2,3,...,n）（答：?0??...??...?0...an???...?1??30??2?0??（答：?3?01?
??3???0?0?1a20...0231?30000?1a3...000351?50??0? 0?）?...??1...an??.........?0??0??） 1??5?2??5??1
01??2?1?3?2??2????21?2?1（答：1?5?3）○3?○?????0?????132?164??????0
21000021
?1?14?○?3??2
12750021
0?
?11?1???210?0??? 6?1?21? ? ○2502○????3?
??12???0??1?11??2?
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?11?1??32???210??123???????022X?10X1?21?(2) 解矩阵方程○12
???012? ???? ○?????12??0??1?11????21??2?2??11?132??11?13?11?13???(??02???0111/2? 3)?(1)210??2100【○1解：02??????????1?11?21???0?22?5?1???001?1?1/4??7/4?6??1102?1001/23/2??1/23/2??2???0103/21/4?，则解得X??3/21/4??1?6?】
??0103/21/41??????4???????001?1?1/4???001?1?1/4????1?1/4????4?1???1 1?1??113??25??4?6?????3?4X?2 1 0???432?○?X???○?13??2 1? ?1?1 1??125?????5?○3
?12??3 1?? 24?X??????? 51?2?11??????（3）求下列矩阵的秩 ?1 234???1?1?245?○2 ○
?11012????1?0 1 1?1 2????0 2 2 2 0?? 3?2?0?1?1 1 1?○?3???1 1 0 0?1?0???1?2 0 32 10??4 20? ○4
6?11??0 01??1412682???610421917?? ?76341???353015204???1??05?0○??1?4?01025014?615??3?7?025??1?24?13?6?136?○
??11?105?7??31432???4?11?280???63277??14126?610421【○4??763??353015?1?98?(1)?(2)?61043)?(1)?(????00??00?634?782??1?(1)917??61042192?????41?7634???35301520204???18?5?16??1??5(3)?21917?(2)4?0?6(1)??????00?16/5?4/5?????0000??
1?(3)?(1)?76341??(3,4)??17?(3)/5?610421917? ?????761?34/51/5??????4?000??00??98?18?5?16??*%&$?就是阶梯型了。
0041??0000??它的秩是3】
?1?1?? 01 0?????（4）解矩阵方程AX?B?X，其中A???11 1?? B??2 0?
?5?3???10?1??????1（5）若n阶矩阵满足A?2A?4E?O，试证A?E可逆，并求(A?E)
?1【证：因A?2A?4E?O，A?2A?3E?E，即有(A?E)(A?3E)?E，故(A?E)?A?3E】
222（6）若A是n阶矩阵，且|A|=5，则?5AT?mshzq
?1?5?n?1
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【解：?5AT??1?11111T?11?1T(A)?(A)?n(A?1)T?nA?1?n?n?1?5?n?1】
555A555?1?1（7）设矩阵A????1??2111?022??当a为何值时，矩阵A满秩？当a为何值时，矩阵A的秩为2？ 0a?3?2??31a??010??100??1?4 3?（8）解方程：○1 ?? 14?? 20??3 1???12??X???11?????0?1?? ○
2??100???X??001?????2 0?001????010????1?2【提示：属于AXB?C型，可解X?A?1CB?1】
?020?（9）矩阵A???003?的伴随矩阵A*?
?00??4??（10）设A,B均为n阶方阵，且A??2，B?1，则ATB?1?
（11）设A为可逆n阶方阵，则(A*)?1?（ A ）
A．
1AA B．1AA* C．A?1A?1 D．1A*A
（12）设A为三阶方阵，A??12，计算(3A)?1?2A* 【答案：?12827
】 （13）设P????1?4???11???，D????10???02???由矩阵A方程P?1AP?D确定，试求A5 ?110??123?（14）设矩阵C?A[(A?1)2?A*BA?1]A，其中A???011???，B???456??
?111????789??而且A*
为A的伴随矩阵，○1化简C；○2计算C （15）设A??20?01???，B???11???????25???，求B2?A2(B?1A)?1 wǎng
dài
-----------------------------------------【子曰：学而不思则罔，思而不学则殆。】 第三章 线性方程组
1、非齐次线性方程组
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?1?? 0??
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?a11x1?a12x2?...?a1nxn?b1?a11??ax?ax?...?ax?b?211222?a212nn2（1）? 其中系数矩阵A??..............................?..........??a??am1x1?am2x2?...?amnxn?bm?m1?a11a12...a1n?x1??b1??????xb?2??2??a21a22...a2nX???，b???又称A?(A?b)??.........????????a?x??b??m1am2...amn?n??m?于是，上面线性方程组可以简记为：AX?b
（2）线性方程组AX?b解的判定：【不证明的提供结论使用】
a12a22...am2...a1n??...a2n? ?...?...amn??b1??b2?为增广矩阵 ...??bm????唯一解?r(A)?r(A)?n?有解?r(A)?r(A)?AX?b??无穷多解?r(A)?r(A)?n
?无解?r(A)?r(A)?（其中A?(A,b)为增广矩阵，n是未知数的个数）
?x1?x2?1例题1：线性方程组?解的情况是（ D ）
?x1?x2?0A、无穷多解； B、只有0解； C、有唯一解； D、无解
?111?(2)?(1)?111?A????解：增广矩阵?110????
00?1????因为r(A)?1?r(A)?2，故方程组无解，选择D答案。
?x1?3x2?2x3?x4?0?例题2：求线性方程组的一般解??x1?2x2?x3?2x4??1
?x?2x?3x?2x?1234?110?(2)?(1)?1?3210??1?32?????0?113?1? (3)?(1)2?12?1??解：增广矩阵A??1???????1?23?21???011?31??1?1?3210??105?83?(3)2??(??011?31? 1)?(2)3?????011?31?????????00200???00100??(2)?(3)(2,3)因为r(A)?r(A)?3，有无穷多解。
?x1?3?8c?x1??3??8????????x?1?3c?2?x2??1??3?其全部解可表示为?（c为任意常数）。【或表为向量式：????????c】
x00?x3?0?3??????x??0??1???x4?c?4?????mshzq