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x1?x3?2??例题3：设线性方程组?x1?2x2?x3?0讨论当a, b为何值时？方程组无解、有唯一解和无穷多解。
?2x?x?ax?b23?112??1012?(2)?(1)?10??(3)?(1)2??
解：增广矩阵A?12?10????02?2?2???????21?ab???01?a?2b?4??12?12??10?10??(??01? 3)?(2)?????01?1?1???1?1???????01?a?2b?4???00?a?1b?3??1(2)2（1）当a??1,b?3时，r(A)?2?r(A)?3，方程组无解； （2）当a??1时，r(A)?r(A)?3，方程组有唯一解；
（3）当a??1,b?3时，r(A)?r(A)?2?3（未知数的个数），方程组有无穷多解。
?x1?2?cx?x?2?1?3这时方程组为?，令x3?c，无穷多的解是?x2??1?c（c为任意常数）
x2?x3??1??x?c?3?2x1?x2?x3?0?例题4：设线性方程组??x1?2x2?x3??1 试问c为何值时？方程组有解，有解时，求其所有解。
?x?3x?2x?c23?1?2?110?(1)?(2)?1?32?1???(3)????1?21?1? (2)?解：增广矩阵A??1?21?1?????????1?32c???0?53c?1???1?32?1??1?32?1???(??0?53?2? 2)?(1)3)?(2)?(????0?53?2?????????0?53c?1???000c?1??2?1??1?3?101/51/5???(??01?3/52/5? 1)?(2)3?????01?3/52/5????????0c?1?0c?1??00??00?1?(2)5当c??1时，r(A)?r(A)?2?3方程组有解，且有无穷多解。
?x1?1/5?c/5?23c 所有解为：?x2??（c为任意常数）
55??x3?c（3）习题：
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?2x1?5x2?x3?15x4?7?2x1?3x2?x3?5x4?6??1求解线性方程组a?x1?2x2?x3?4x4?2 【有解】b?3x1?x2?2x3?4x4??5【无解】 ○
?x?3x?2x?11x?5?x?2x?3x?x??2234234?1?1?x1?x2?x3?1?2当a取何值时，线性方程组?2x1?3x2?ax3?3无解？唯一解？无穷多解？有无穷多解时，求其解。 ○
?x?ax?3x?223?1?2x3??1?x1?3当a，b取何值时，方程组??x1?x2?3x3?2无解？唯一解？无穷多解？有无穷多解时，求其解。 ○
?2x?x?ax?b3?122、齐次线性方程组
?a11x1?a12x2?...?a1nxn?0?a11a12...a1n??x1??0????????ax?ax?...?ax?0aa...ax?211222?21?2??0?2nn222n?A?X?（1）?其中系数矩阵?......?，??? ，O???? ........................................????????????0???am1x1?am2x2?...?amnxn?0?am1am2...amn??xn???于是，齐次线性方程组可以简记为：AX?O
（2）线性方程组AX?O解的判定：【不证明的提供结论使用】
?有非零解?r(A)?nAX?O?
只有零解?r(A)?n??1021???例题5：若齐次线性方程组AX?O的系数矩阵为A?010?2 ????0000???x1??2c1?c2?x1???2???1????????x?2c
?2?x2??0??2?2
c?则此方程组的一般解为?（c1,c2为任意常数）【又可表为：X????? ?1?0?c2】x?cx1?31?3????????1???????x4?c2?x4??0??x1?3x2?2x3?0?例题6：设线性方程组?x1?7x2?2x3?0 判断解的情况。
?2x?14x?5x?023?1?13?2?(2)?(1)?13?2?1?13?2?(2)???(??044????011? 3)?(2)242???解：A?17??????????2145???001???001??因为r(A)?3（未知数的个数），该线性方程组只有零解。
x1?2x3?x4?0??例题7：设线性方程组??x1?x2?3x3?2x4?0 求其全部解。
?2x?x?5x?3x?0234?1mshzq
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2?1?(2)?(1)?102?1??10?102?1???(3)?(2?01?11??(??01?11? 3)?(2))2????解：A??11?32?????????????2?15?3???01?11???0000???x1??2c1?c2
?x?2c?x1??2x3?x4?21
因为r(A)?2?4，其解：?（x3,x4为自由量），即?（c1,c2为任意常数）
x?c?x2?x3?31??x4?c2
（3）习题：
?x1?2x2?x3?2x4?0?1设线性方程组?2x1?x2?x3?x4?0 求其全部解 ○
?3x?x?2x?x?034?12?2x1?4x2?5x3?3x4?0?2设线性方程组?3x1?6x2?4x3?2x4?0 求其全部解 ○
?4x?8x?17x?11x?0234?1?x1?x2?5x3?x4?0?x?3x?9x?7x?0?12343解线性方程组 ?○2x?2x?10x?2x?0234?1??3x1?x2?8x3?x4?03、向量及其线性组合
（1）基本概念
?a1????a2?行向量??(a1,a2,...,an)，列向量????，零向量：O?(0,0,...,0)
????a??n?向量相等：??(a1,a2,...,an)???(b1,b2,...,bn)的对应元素相等ai?bi（i?1,2,...,n）
加减法：设??(a1,a2,...,an)，??(b1,b2,...,bn)，则????(a1?b1,...,an?bn) 数乘向量：k??(ka1,ka2,...,kan)
?是?1,?2,...,?s的线性组合：??k1?1?k2?2?...?ks?s（?可由?1,?2,...,?s线性表示）
?a1j??a11x1?a12x2?...?a1nxn?b1?b1??????ax?ax?...?ax?ba?2j??211222?b2?2nn2线性方程组?中，记?j???，j?1,2,...,n，????? ?.....................................??????b?????am1x1?am2x2?...?amnxn?bm?m??amj?可简记为：x1?1?x2?2?...?xn?n??------------【线性方程的向量形式】
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结论：?可由?1,?2,...,?n线性表示??????线性方程x1?1?x2?2?...?xn?n??有解 **例题与习题
充分必要条件??1??1??0??2???????????1??2??1??1问能否由，，???????3?的线性组合？ ○123?5??3??4??6?????????【解：设x1?1?x2?2?x3?3??，
?102?1?(2)?2(1)?102?1??1001???(3)?3??01?13??(??0102? 3)?4(2)(1)????而(?1,?2,?3,?)?2131?????????????3465???0408???001?1???x1?1??,?,?得?x2?2，于是???1?2?2??3，所以?可以唯一地表示成123的线性组合】 ?x??1?3?4??1??2???3??????????7??2??3???5?2问能否由，，????????○123?9??4??3???9?的线性组合？
?????????8??2??5???8?????????【能！可表示为：??3?1?2?2??3】
03把?表示为其他向量的线性组合： 1、??(4,1)；?1?(1,2)，?2?(?2,3) ○
??1??1??1???3??????????4??3???2??1?????????121????????2?00?1???3?，?2??1?，?3??2?；3、????；2、???5?；?1???，?2???，?3???
3111?2??6??2???1??????????????????1??1??2???3?????????（2）向量组的线性相关性
设
?1,?2,...,?m是m个n维向量，若存在m个不全为零的数k1,k2,...,km使得
k1?1?k2?2???km?m?0，则称向量组?1,?2,?,?m线性相关，称k,k,...,k为相关系数；否则，称
12m向量
?1,?2,?,?m线性无关
说明： 1○
?1,?2,?,?m线性无关就是指向量等式k1?1?k2?2???km?m?0当且仅当k1?k2???km?0k1?1?k2?2???km?m?0只有零解
时成立，即m元齐次线性方程组2设○
?1,?2,?,?m为m个n维列向量，则?1,?2,?,?m线性相关?m元齐次线性方程组
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x1?1?x2?2???xm?m?0有非零解，且每一个非零解就是一个相关系数
3特别地： 单个向量?线性相关???0；单个向量?线性无关???0 ○**例题与习题
?2??1??3???????1讨论向量组的线性相关性?1???1?，?2??4?，?3???6? ○
?7??3??11????????213??102?x??x2?2?x3?3?0其系数矩阵(?,?,?)???14?6???01?1?
【解：考虑方程组11123???????7113???000???x1于是，???x1??2?2x3?0?x1??2x3?，解得? ，可选x3?1 ，?x2?1，则有?3?2?1??2，线性相关】
x2?x3?0x?x3?2?x?1?3?1??1??1???????02判定下列向量组的线性相关性： 1、?1??0?，?2??1?，?3??1?；【无关】 ○
?0??0??1????????1???1??2????????2???3??1???????0?1?????3?020、?1??1?，?2??1?，?3??1?；【无关】3、?1???，?2??，；【相关】 ??3????12?5?1???2??3??????????????2???4??10????????1??2??2???????312??????3?04、?1???，?2???，?3???【相关】
1?28???????4??12??2????????1??1??1???????3设?1??1?，?2??2?，?3??3?，问t为何值时，向量组线性相关？向量组线性无关？【t=5】 ○
?1??3??t?????????2??3??2?????????3??1??4已知，，?????t?线性无关，求t值【答案：t??3】 ○123?1??2???1???????（3）向量组的极大无关组和向量组的秩
向量组等价：若向量组S可以由向量组R线性表出，向量组R也可以由向量组S线性表出，
则称这两个向量组等价。
向量组的极大无关组：设T为一个向量组，若存在T的一个部分组S，它是线性无关的，
且T中任一个向量都能由S线性表示，则称部分向量组S为T的一个极大无关组。 显然，线性无关向量组的极大无关组就是其本身
对于线性相关的向量组，一般地，它的极大无关组不是唯一的，但有以下性质：
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