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定理1 向量组T与它的任一个极大无关组等价，因而T的任意两个极大无关组等价 定理2 向量组T的任意两个极大无关组所含向量的个数相同 向量组T的秩：向量组T的任意一个极大无关组中的所含向量的个数 求向量组的秩和极大无关组的方法：初等行变换 **例题与习题
1求出下列向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表出 ○
?1???1???1??2??2???????????1?211?????????4?10、?1???，?2???，?3???，?4???，?5???【答：秩4；?4???2??3】
?22?644???????????7???9??6??3??3????????????1??3??3???????02、?1???2?，?2??2?，?3??10?【答：秩2；?3??3?1?2?2】
?5???1???17????????1??0??0??2??????????0??1??0???1?30、?1???，?2???，?3???，?4???【答：秩3；?4?2?1??2?3?3】
0013?????????1???1???1??0??????????1??2??3??0??????????1?20???????3?40、?1???，?2???，?3???，?4???
2460?????????1???2???1???4?????????230??1230??1?1??????1?2030033?????0?4?????2460??0066??0??????1?2?1?4??0?4?1?1??0?????01000?3??00?
11??00??【解：??1?2?3向量组的秩是r(?1,?2,?3,?4)?3；一个极大无关组是：?1，?2，?3；?4??3?1??3】
?1??1??1??1?????????321?x?0???????x?2已知?1???，?2???，?3???，?4???求x，y值，使得该向量组的秩是2。【答：?】 ○y?20123??????????5??4??3??y??????????1???1??3???2??????????1???3??2???6?3设，，，????????○1?1?2?5?3??1?4?10?
?????????3??1??p?2??p?????????mshzq
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?4????1?10、p为何值时，向量组线性无关？此时将????用他们线性表示；
6???10???【答案：p?2；??2?1?3p?41?p?2??3??4】 p?2p?220、p为何值时，向量组线性相关？此时求向量组的秩和一个极大无关组，
并将其余向量用极大无关组线性表出。【答案：p?2；向量组的秩3】
（4）线性方程组解的结构 1齐次线性方程组AX○
?O解的结构
性质1：若?1，?2是齐次线性方程组AX?O的解，则?1??2也是AX?O的解
性质2：若?1，…，则他们任一线性组合c1?1?c2?2?...?cs?s ?2，?s是齐次线性方程组AX?O的解，
也是方程组AX?O的解，其中ci(i?1,2,...,s)为任意常数。
定义：若?1，…，则称?1，…， ?2，?2，?s是齐次线性方程组AX?O的解向量组的一个极大无关组，
?s是该方程组的一个基础解系
齐次线性方程组AX?O的全部解是：??c1?1?c2?2?...?cs?s其中ci**例题与习题：求齐次线性方程组的全部解，并用其基础解系表示
(i?1,2,...,s)为任意常数
?x1?2x2?x3?2x4?0?2x1?4x2?5x3?3x4?0??10、?2x1?x2?x3?x4?0； 20、?3x1?6x2?4x3?2x4?0
?3x?x?2x?x?0?4x?8x?17x?11x?034234?12?13??12?1?2??10?3/50?x?x3?0?1????初等行变换05【1解：2?1?11?????01?1/5?1，即有?
????1?x2?x3?x4?0??00??31?2?1???00?5?3?x??3/5??0??15c1?0c2?????1??1/5??1?令x3?c1，x4?c2，于是?x2?c1?c2，即其全部解为X??c??1?0?c2，c1，c2为任意常数】 51?x?c?0c????12?0??1??3?????x?0c?c12?42非齐次线性方程组AX○
?b解的结构
性质1：若?是非齐次线性方程组AX?b的一个解，?是相应齐次线性方程组AX?O的一个解，
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则???是方程组AX?b的解。
性质2：若?1，?2是非齐次线性方程组AX?b的两个解，则?1??2是对应齐次方程组AX?O的解。
?是相应齐次线性方程组AX?O的全部解，性质3：若?0是非齐次线性方程组AX?b的一个特解，
则方程组AX?b的全部解是X??0??
**例题与习题：
1求线性方程组的全部解，并用其基础解系表示 ○
?x3?x4??3?x1?x2?2x3?4x4?0?x1???1； 10、?2x1?5x2?4x3?11x4??3；20、?3x1?x2?x3?x?2x?2x?5x??1?7x?7x3?3x4?3234?1?1【1解：将增广矩阵用初等行变换化为阶梯型
0?11?240??10?231???初等行变换?0101?1?，取，为自由量
?A?b???25?411?3????x3x4???????12?25?1???00000???x1?1?2c1?3c2?1??2???3????????x??1?0c?c?10?2??????1?12令x3?c1，x4?c2，则有?，即X??????c1?? c2，其中c1，c2为任意常数】?010?x3?0?c1?0c2???????0??0??1???x4?0?0c1?c2???????x1??3???1????????x2???8??2?0?c，其中c为任意常数】 【2答：X?????x30??1????????x??6??0??4???????x1?x2?x3???3?2设线性方程组?x1??x2?x3??2，讨论?为何值时，方程组无解？唯一解？无穷多解？ ○
?x?x??x??223?1在无穷多解时，并写出它的全部解
【解：将增广矩阵用初等行变换化为阶梯型
1??2???11??3??1??初等行变换?0??1?
?A?b???1?1?2????1??0??????0(??2)(1??)3(??1)??11??2???0?当???2时，r(A)?r(A)?r(A?b)方程组无解； 当???2且??1时，方程组唯一解；
当??1时，方程组无穷多解，这时同解方程x1?x2?x3??2，即x1??2?x2?x3，取x2，x3为自由量，
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?x1???2?c1?c2???2???1???1???????????X?x?0?c?0c?0?1c?令x2?c1，x3?c2，有 ?2??????1?0?c2，其中c1，c2为任意常数】12??x??0?0c?c??0??0??1?12??3?????????x1?x2?tx3?4?3当t为何值时，线性方程组?x1?x2?2x3??4有无穷多解？并写出此时它的全部解【答：t=4】 ○
??x?tx?x?t223?1??4??2??a1x1?a2x2?a3x3?a?????4已知?1??1?，?2???1?，是方程组?2x1?6x2?9x3?7的两个解，求方程组全部解 ○
?1???x?3x?3x?4?1?123???????6??a1x1?a2x2?a3x3?0???【解：由条件可得，方程组有无穷多解！?1??2??2?对应齐次方程组?2x1?6x2?9x3?0的解
?0???x?3x?3x?0123????a1a2a3?69又，?A?b??2????1?33a?(2)?2(3)?130?1??0? (1)?a1(3)7??????011????4???0a2?3a1a3?3a1a?4a1??(1,3)必有r(A)?r(A?b)?2，即是a2?3a1?a3?3a1?a?4a1?0
同解方程组??x1?3x2??x1???1???3?????????1，令x2?c，它的全部解X??x2???0???1?c，其中c为任意常数】
x3?1?x??1??0??3?????-----------------------------------------【老骥伏枥，志在千里；烈士暮年，壮心不已。---曹操（东汉）】 第四章 矩阵的特征值与特征向量 1、矩阵的特征值和特征向量
?x1????x2?定义：设n阶矩阵A?(aij)n?n，若对于数?，存在非零列n维向量????，使得A????
????x??n??x1????x2?称?为矩阵A的特征值，????为特征值?对应的特征向量
????x??n?矩阵的特征值和特征向量的求法：特征方程?E?A?0的根?为矩阵的特征值（特征根）；【不考虑复根】
对应齐次方程组(?E?A)X?O的全部解，都为特征值?的特征向量。 **例题与习题：求下列矩阵的特征值和对应的特征向量
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21???102??0?200?32???12?1?；??203?；?111?
（1）?；（2）（3）（4）?????????3?4?????130????1?30???1?13??【（1）解：
?E?A???33?2?(??3)(??2)?0，得特征值?1??3，?2?2 ??4?1???6?2??x1?对于特征值?1??3，方程组???x??0，即3x1?x2?0的全部解是X????3??c，c为任意 31?????2?非零常数，对应的特征向量是?????3??c，c为任意非零常数。
???1???1?2??x1???2?对于特征值?2?2，方程组???x??0，即x1?2x2?0的全部解是X???1??c，c为任意 36???2???非零常数，对应的特征向量是????1??c，c为任意非零常数】
????2???10?2??102???2【（2）12?1解：?E?A??1??21?(??1)(??1)?0得?1??2?1，?3??1
????1?3??130??0?2??x1??2????对于特征值?1??2?1，有方程组?1?11x2?0 ???????1?31????x3??0?2??2?10?1??1???????初等行变换?1?11?????010X?对系数矩阵?0?c，c为任意非零常数 ????，得它的全部解
?1?????1?31???000?????1???对应的特征向量是???0?c，c为任意非零常数
?1???0?2??x1??0????对于特征值?3??1，有方程组?1?31x2?0 ???????1?3?1????x3??0?2??0?130???3???????初等行变换对系数矩阵?1?31?????001，得它的全部解X??1?c，c为任意非零常数
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