《线性代数》讲义 第 26 页 共 30 页
??3?????对应的特征向量是?1?c，c为任意非零常数】
?0???2、矩阵的特征值和特征向量的性质 性质1：转置矩阵有相同的特征值
性质2：矩阵可逆的充分必要条件是其任一特征值不等于零 性质3：不同特征值对应的特征向量线性无关
性质4：设n阶矩阵A?(aij)n?n的特征值是?1,?2,...,?n（含重根、复根），则有
?1??2?...??n?a11?a22?...?ann；?1?2...?n?A
例题：设三阶矩阵A的特征值为?1?1，?2?3，?3?5，矩阵B?A?2A，求B
22【解：设?为A的特征值，对应的特征向量是?，则A????，于是A???A????，
2即?是A的特征值，所以B??(A2?2A)??A2??2A???2??2???(?2?2?)? 由此可知，??2?是B的特征值，于是B的特征值?1??1?2?1??1，?2??2?2?2?3，
22222?3??32?2?3?15，故B??1?2?3??45】
**习题：1）设?为矩阵A的特征值，求kA特征值和A的特征值【答：k?和?】 2）若A可逆，?为矩阵A的特征值，求证○1 A的特征值是
?1221?；○2伴随矩阵A的特征值是
*
A?
【解：○1设?为A的特征值，对应的特征向量是?，则A????，
?1?1两边乘A，有???A?，即A???11??，故A?1的特征值
1?；
2A?○
?1A1*A，于是A*?AA?1，伴随矩阵A*的特征值是】
?A?101???3）已知0是矩阵A??020?的一个特征值，求○1a的值；○2A的特征值和特征向量
?10a?????1【解：○1?E?A?0?10?(??2)(?2???a??a?1)?0，0是特征值，则有a?1；
??a?10??(??2)2?0，A的特征值为?1?0，?2??3?2 ??1
0?1??200??12这时?E?A?○
0?1??20mshzq
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??10?1??x1???1???????0?20x?0??当?1?0时，有方程组，对应的特征向量是其中c为任意非零常数； ?0?c，???2??1????10?1????x3?????10?1??x1??x1?0c1?c2?x2?c1?????当?2??3?2时，有方程组000x2?0，即x1?x3?0，令?，即有?x2?c1?0c2
????x3?c2??x?0c?c????12??101??x3??3?0??1?????对应的特征向量是???1?c1??0?c2，其中c1，c2为任意非零常数】
?0??1?????4）选择○1设三阶矩阵A的特征值为?2，1，4，则下列满秩矩阵是（ C ）
(A)E?A ( B) 2E?A ( C) 2E?A ( D) A?4E 【解：A的特征方程是?E?A?0，则特征值分别代入得： 当???2时，有?2E?A?0，即2E?A?0，B可逆！ 当??1时，有E?A?0，A可逆！
当??4时，有4E?A?0，即A?4E?0，D也可逆！故，答案C！---08理科4班陈乔鑫】
?3?11???2矩阵201对于特征值2的特征向量是（ D ） ○????1?12???1???(A)?0? ( B)
?1????1????0? ( C) ??1????1?0????1? ( D) ?1????1????1? ?0????1?3设2是可逆矩阵A的一个特征值则矩阵?A2?必有一个特征值是（ B ） ○
?3?4332 ( B) ( C) ( D) 3423121222【解：设?为A的特征值，则有A的特征值是?，于是A的特征值是?，
33(A)
33?12??A?的特征值是2，即是】
4??3?*5）设三阶矩阵A的特征值为?1?1，?2??1，?3?2，求A?3A?2E。
?1【答案：9】 3、相似矩阵
?1（1）定义：n阶矩阵A与B若存在可逆矩阵P，使得PAP?B，则称A与B相似，记作：A~B：
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性质1：相似矩阵的特征值相同
?1?1?1?1?1【证：?E?B??E?PAP?P(?E)P?PAP?P(?E?A)P?P?E?AP??E?A】
性质2：相似矩阵的行列式相等
?1?1【证：B?PAP?PAP?A】
性质3：相似矩阵的秩相等 （2）矩阵可对角化的条件
若n阶矩阵A可以与一对角矩阵相似，则称矩阵A可对角化
性质1：n阶矩阵A相似于对角矩阵的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量
??10??0?2性质2：n阶矩阵A相似于对角矩阵?......??00?例题1：矩阵A???...0??...0?的充分条件是A有n个不同的特征值?1,?2,...,?n。
......??...?n??2??3?可否对角化？如果可以对角化，则写出可逆矩阵P及与它相似的对角矩阵 ???3?4?【解：矩阵A???2??3??2??1??????的特征值，，对应的特征向量分别是， ???3??2????1221???????3?4??1???3??1?2??2?????31??，
??于是，矩阵A可对角化（因有不同的特征值）令P???1则对角矩阵为P?1AP?????10???30??】 ???????0?2??02??3?20???A??13?1例题2：矩阵??可否对角化？
??57?1?????3【解：?E?A?201?(??1)(??2)2?0，得的特征值?1?1，?2??3?2
??115??3?7??220??x1??1?????x?0，得特征向量???1?
?21对于特征值?1?1，方程组1??1???2????1???5?72???x3?????120??x1???2???????对于特征值?2??3?2，方程组1?11?x2??0，得特征向量?2???1?
?????1???5?73???x3???只有两个线性无关的特征向量，矩阵A不能对角化！】
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?11?1???A??24?2例题3：矩阵??可否对角化？如果可以，则求可逆矩阵P及与它相似的对角矩阵
??220?????1【解：?E?A??1122??42?(??1)(??2)2?0，得的特征值?1?1，?2??3?2 ?2??0?11??x1??1/2??1?????1????对于特征值?1?1，方程组2?32?x2??0，得特征向量?1??1???2?
???1?2?2??x???2?21???????3??1?11??x1?????对于特征值?2??3?2，方程组2?22?x2??0，得x1?x2?x3?0，
??????2?22???x3??1???1?????特征向量?2??1?，?3??0?，有三个线性无关的特征向量，故A可以对角化！
?0??1?????可逆矩矩阵P???1?2?11?1??1??????3???210?，对角矩阵???2?显然，P可逆，且P?1AP??】
?201??2?????**习题：
（1）下列矩阵可否对角化？如果可以，则求出可逆矩阵P及与它相似的对角矩阵
10???4?100??311???1?，??4?10?，
30?1?，【可以】 2【可以】3○○○?22?????【不可以】
????61??3??4?8?2???200??2???（2）设矩阵A??001?，B???01x???????y?相似，求x，y的值
?1????2【解：?E?A?0000?1??(??x)(??2)?(??2)?(??2)(?2?x??1)?0 ?1??x??y2?xy?1?0?x?0又A~B，即特征值是2，y，-1 故有?，得 】 ?2?(?1)?x?1?0?y?1?1?11??2??????14?2?，B??2（3）设矩阵A~B，且A??2求a，b的值和可逆矩阵P，使得PAP?B ?，
??3?3a??b?????mshzq
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?111???a?5?P??10?2【答：?；??】
b?6??013???
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