2014圆锥曲线压轴题尖子生辅导
一．填空题（共3小题） 1．已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形．
（Ⅰ）求椭圆 C的方程； （Ⅱ）过点Q（1，0）的直线 l与椭圆C 相交于A，B两点．点P（4，3），记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，当k1?k2 最大时，求直线l的方程．
2．如图，在△ABC中，已知A（﹣3，0），B（3，0），CD⊥AB于D，△ABC的垂心为 H且
．
（Ⅰ）求点H的轨迹方程；
（Ⅱ）设P（﹣1，0），Q（1，0），那么
能否成等差数列？请说明理由；
（Ⅲ）设直线AH，BH与直线l：x=9分别交于M，N点，请问以MN为直径的圆是否经过定点？并说明理由．
3．如图，已知直线
与抛物线
和圆
都相切，
F是C1的焦点．
（1）求m与a的值；
（2）设A是C1上的一动点，以A为切点作抛物线C1的切线，直线交y轴于点B，以FA，FB为邻边作平行四边形FAMB，证明：点M在一条定直线上；
（3）在（2）的条件下，
记点M所在的定直线为l2，直线l2与y轴交点为N，连接MF
交抛物线C1于P，Q两点，求△NPQ的面积S的取值范围．
二．解答题（共27小题）
4．用总长44.8m的钢条制做一个底面是等腰三角形的直三棱柱容器的框架，如果所制做容器的底面的腰长比底边
22
长的一半长1m，那么底面的底边，腰及容器的高为多少时容器的容积最大？（参考数据2.66=7.0756，3.34=11.1556）
5．（2013?四川）已知椭圆C：
（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），且椭圆C经过
点．
（I）求椭圆C的离心率：
（II）设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且
求点Q的轨迹方程．
2
6．（2014?深圳一模）如图，直线l：y=x+b（b＞0），抛物线C：y=2px（p＞0），已知点P（2，2）在抛物线C上，且抛物线C上的点到直线l的距离的最小值为
．
，
（1）求直线l及抛物线C的方程；
（2）过点Q（2，1）的任一直线（不经过点P）与抛物线C交于A、B两点，直线AB与直线l相交于点M，记直线PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在实数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．
7．（2014?上饶一模）如图，椭圆C1：
（a＞b＞0）和圆C2：x+y=b，已知圆C2将椭圆C1的长轴三等
2
2
2
分，椭圆C1右焦点到右准线的距离为，椭圆C1的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l
与圆C2相交于点A、B． （1）求椭圆C1的方程；
（2）若直线EA、EB分别与椭圆C1相交于另一个交点为点P、M． ①求证：直线MP经过一定点； ②试问：是否存在以（m，0）为圆心，出所有m的值；若不存在，请说明理由．
为半径的圆G，使得直线PM和直线AB都与圆G相交？若存在，请求
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8．（2014?德州一模）已知点A、B分别是椭圆
=1（a＞b＞0）长轴的左、右端点，点C是椭圆短轴的一个
端点，且离心率e=
，S△ABC=
．动直线，l：y=kx+m与椭圆于M、N两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若椭圆上存在点P，满足
（O为坐标原点），求λ的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当λ取何值时，△MNO的面积最大，并求出这个最大值． 9．（2014?崇明县一模）已知圆C1的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l1：（1）求圆的标准方程；
（2）设点A为圆上一动点，AN⊥x轴于N，若动点Q满足：动点Q的轨迹方程C2； （3）在（2）的结论下，当最大值．
10．（2013?烟台二模）已知椭圆M：：
+
=1（a＞0）的一个焦点为F（﹣1，0），左右顶点分别为A，B．经过
时，得到曲线C，与l1垂直的直线l与曲线C交于B、D两点，求△OBD面积的
相切．
，（其中m为非零常数），试求
点F的直线l与椭圆M交于C，D两点． （Ⅰ）求椭圆方程； （Ⅱ）当直线l的倾斜角为45°时，求线段CD的长； （Ⅲ）记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1﹣S2|的最大值． 11．（2013?徐州三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：
的离心率
，
A1，A2分别是椭圆E的左、右两个顶点，圆A2的半径为a，过点A1作圆A2的切线，切点为P，在x轴的上方交椭圆E于点Q．
（1）求直线OP的方程； （2）求
的值；
（3）设a为常数，过点O作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点B、C，分别交圆A点M、N，记三角形OBC和三角形OMN的面积分别为S1，S2．求S1S2的最大值．
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12．（2013?温州二模）如图．直线l：y=kx+1与椭圆C1：
2
2
交于A，C两点，A．C在x轴两侧，B，
D是圆C2：x+y=16上的两点．且A与B．C与D的横坐标相同．纵坐标同号． （I）求证：点B纵坐标是点A纵坐标的2倍，并计算||AB|﹣|CD||的取值范围；
（II）试问直线BD是否经过一个定点？若是，求出定点的坐标：若不是，说明理由．
13．（2013?松江区一模）对于双曲线C：
，定义C1：
，为其伴随曲线，
记双曲线C的左、右顶点为A、B．
（1）当a＞b时，记双曲线C的半焦距为c，其伴随椭圆C1的半焦距为c1，若c=2c1，求双曲线C的渐近线方程； （2）若双曲线C的方程为x﹣y=1，过点点，求△ON1N2的面积（O为坐标原点） （3）若双曲线C的方程为
2
2
且与C的伴随曲线相切的直线l交曲线C于N1、N2两
，弦PQ⊥x轴，记直线PA与直线QB的交点为M，求动点M的轨迹方程．
2
14．（2012?咸阳三模）已知抛物线x=4y，过点A（0，a）（其中a为正常数）任意作一条直线l交抛物线C于M，N两点，O为坐标原点． （1）求
的值；
（2）过M，N分别作抛物线C的切线l1，l2，试探求l1与l2的交点是否在定直线上，证明你的结论． 15．（2012?武昌区模拟）已知椭圆
的离心率为，点M（2，3），N（2，﹣3）为C
上两点，斜率为的直线l与椭圆C交于点A，B（A，B在直线MN两侧）． （I）求四边形MANB面积的最大值；
（II）设直线AM，BM的斜率为k1，k2，试判断k1+k2是否为定值．若是，求出这个定值；若不是，说明理由．
16．（2012?泰州二模）已知椭圆
（a＞b＞0）的右焦点为F1（2，0），离心率为e．
（1）若e=，求椭圆的方程；
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（2）设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，AF1的中点为M，BF1的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上． ①证明点A在定圆上； ②设直线AB的斜率为k，若k，求e的取值范围．
2
17．（2012?台州一模）已知抛物线C1：x=2py（p＞0）上纵坐标为p的点到其焦点的距离为3． （Ⅰ）求抛物线C1的方程； （Ⅱ）过点P（0，﹣2）的直线交抛物线C1于A，B两点，设抛物线C1在点A，B处的切线交于点M， （ⅰ）求点M的轨迹C2的方程； （ⅱ）若点Q为（ⅰ）中曲线C2上的动点，当直线AQ，BQ，PQ的斜率kAQ，kBQ，kPQ均存在时，试判断是否为常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由．
18．（2012?韶关二模）在直角坐标系xOy中，动点P与定点F（1，0）的距离和它到定直线x=2的距离之比是设动点P的轨迹为C1，Q是动圆
（1＜r＜2）上一点．
，
（1）求动点P的轨迹C1的方程，并说明轨迹是什么图形； （2）设曲线C1上的三点
的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k；
（3）若直线PQ与C1和动圆C2均只有一个公共点，求P、Q两点的距离|PQ|的最大值． 19．（2012?泉州模拟）已知椭圆C的方程为：（1）求该椭圆的标准方程； （2）设动点P（x0，y0）满足
2
2
与点F的距离成等差数列，若线段AC
，其焦点在x轴上，离心率e=．
，其中M，N是椭圆C上的点，直线OM与ON的斜率之积为﹣，求
证：x0+2y0为定值．
（3）在（2）的条件下，问：是否存在两个定点A，B，使得|PA|+|PB|为定值？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由．
20．（2012?南京二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，以原点
为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+2=0相切． （1）求椭圆C的方程； （2）已知点P（0，1），Q（0，2）．设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T，求证：点T在椭圆C上．
21．（2012?闵行区三模）已知椭圆T：一个顶点，
?
=0．
+
=1（a＞b＞0）的左、右焦点依次为F1，F2，点M（0，2）是椭圆的
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