23．（2012?泸州一模）已知椭圆
的长轴长是焦距的2倍，右准线方程为x=4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）已知点D坐标为（4，0），椭圆C上动点Q关于x轴的对称点为点P，直线PD交椭圆C于点R（异于点P），求证：直线QR过定点． 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 专题： 综合题． 分析： （Ⅰ）根据椭圆的长轴长是焦距的2倍，右准线方程为x=4，可求几何量，从而求出椭圆C的方程； （Ⅱ）先猜想定点坐标为A（1，0），再设Q（m，n），则P（m，﹣n），证明直线PD与直线QA的交点恒在椭圆上，从而得证． 解答： （Ⅰ）解：∵椭圆∴2a=2（2c），∴a=2c ∵右准线方程为x=4，∴∴4c=4c，∴c=1，∴a=2，∴b=2的长轴长是焦距的2倍 ，∴a=4c 2所以椭圆C的方程为：（Ⅱ）证明：不妨取Q（0，∴直线PD的方程为代入椭圆方程可得：5x﹣8x=0 ∴x=0，或x= ∴R（，﹣） 2； ），则P（0，﹣，即） ∴直线QR的方程为 令y=0，可得x=1，故猜想定点坐标为A（1，0） 设Q（m，n），则P（m，﹣n），∴直线PD的方程为：直线QA的方程为② ① 联立①②可得，解得 代入椭圆方程的左边可得+ ∵Q（m，n）在椭圆上，∴
，∴
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∴+=+==1 即直线PD与直线QA的交点恒在椭圆上 故直线QR过定点（1，0）． 点评： 本题考查椭圆的标准方程，考查直线恒过定点，利用先猜后证的方法，解题的关键是确定定点的坐标，属于中档题． 24．（2012?泸州二模）已知双曲线方程
，椭圆方程
，A、D分别是双曲线和椭
圆的右准线与x轴的交点，B、C分别为双曲线和椭圆的右顶点，O为坐标原点，且|OA|，|OB|，|OC|，|OD|成等比数列． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若E是椭圆长轴的左端点，动点M满足MC⊥CE，连接EM，交椭圆于点P，在x轴上有异于点E的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线CP、MQ的交点，求点Q的坐标． 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 专题： 综合题． 分析： （Ⅰ）由双曲线方程列，可得求得椭圆的方程； ，可求，根据|OA|，|OB|，|OC|，|OD|成等比数，根据D是椭圆的右准线与x轴的交点，C为椭圆的右顶点，即可（Ⅱ）由（Ⅰ）知，C（2，0），E（﹣2，0），将y=k（x+2）代入整理得（1+2k）x+8kx+8k﹣22224=0，可求P的坐标；设Q（x0，0），x0≠﹣2，若以MP为直径的圆恒过直线CP、MQ的交点，则MQ⊥CP，从而有解答： 解：（Ⅰ）由已知A是双曲线的右准线与x轴的交点，B为双曲线的右顶点，双曲线方程∴ ∵|OA|，|OB|，|OC|，|OD|成等比数列． ∴ ∵D是椭圆的右准线与x轴的交点，C为椭圆的右顶点， ∴∴ ； ， ，进而可知存在Q（0，0），使得以MP为直径的圆恒过直线CP、MQ的交点． ∴所求椭圆的方程为（Ⅱ）由（Ⅰ）知，C（2，0），E（﹣2，0），设直线EM的方程为：y=k（x+2），P（x1，y1） ∵MC⊥CE，∴M（2，4k） 将y=k（x+2）代入整理得（1+2k）x+8kx+8k﹣4=0 2222 ?2010-2014 菁优网
∵ ∴∴ ∴P（） 设Q（x0，0），x0≠﹣2 若以MP为直径的圆恒过直线CP、MQ的交点，则MQ⊥CP ∴ ∵， ∴=0 ∴ ∴x0=0 ∴存在Q（0，0），使得以MP为直径的圆恒过直线CP、MQ的交点． 点评： 本题重点考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，解题的关键是将两直线与椭圆方程联立，将向量关系转化为坐标关系． 25．（2012?黄浦区一模）已知两点A（﹣1，0）、B（1，0），点P（x，y）是直角坐标平面上的动点，若将点P的横坐标保持不变、纵坐标扩大到
倍后得到点Q（x，
）满足
．
（1）求动点P所在曲线C的轨迹方程； （2）过点B作斜率为
的直线l交曲线C于M、N两点，且满足
，又点H关于原点O的对称
点为点G，试问四点M、G、N、H是否共圆，若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由． 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；向量在几何中的应用；圆锥曲线的轨迹问题． 专题： 综合题． 分析： （1）确定向量AQ，BQ的坐标，利用，即可得到动点P所在曲线C的轨迹方程； （2）假设l的方程与椭圆方程联立，利用向量知识，确定M，N，G，H的坐标，进而确定点到四点的距离相等，从而可得结论． 解答： 解：（1）依据题意，有∵22， ， ∴x﹣1+2y=1． ?2010-2014 菁优网
∴动点P所在曲线C的轨迹方程是（2）因直线l过点B，且斜率为k=﹣． ，故有l：y=﹣． 联立方程组，得2x﹣2x﹣1=0． 2设两曲线的交点为M（x1，y1）、N（x2，y2）， ∴x1+x2=1，y1+y2=又． ，点G与点H关于原点对称， ）、G（1，）． =（x﹣），l2：． 于是，可得点H（﹣1，﹣若线段MN、GH的中垂线分别为l1和l2，则有l1：y﹣联立方程组，解得l1和l2的交点为O1（，﹣）． 因此，可算得|O1H|==，|O1M|=），半径为． =． 所以，四点M、G、N、H共圆，圆心坐标为O1（，﹣点评： 本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查四点共圆，正确运用向量知识，确定圆心坐标与半径是关键． 26．（2012?葫芦岛模拟）如图，椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的左右顶点为A1，A2，左右焦点为F1，F2，其中
F1，F2是A1A2的三等分点，A是椭圆上任意一点，且|AF1|+|AF2|=6． （1）求椭圆C的方程；
（2）设直线AF1与椭圆交于另一点B，与y轴交于一点C，记m=求m+n的取值范围．
，n=
，若点A在第一象限，
考直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 点： 分（1）根据F1，F2是A1A2的三等分点，可得a=3c，利用|AF1|+|AF2|=6，可得a=3，从而可得椭圆C的方程； 析：（ 2）当直线与x轴重合时，显然不合题意；当直线不与x轴重合时，设直线AF1的方程代入到椭圆方程并消 ?2010-2014 菁优网
元整理利用韦达定理及C点坐标，确定m=取值范围． 解解：（1）∵F1，F2是A1A2的三等分点，∴a=3c 答：又∵ |AF1|+|AF2|=6，∴a=3 2∴c=1，∴b=8 ∴椭圆C的方程为：+=1…（4分） =，n==，由此可确定m+n的（2）F1（﹣1，0），当直线与x轴重合时，显然不合题意， 当直线不与x轴重合时，设直线AF1的方程为：x=my﹣1 22代入到椭圆方程并消元整理得：（8m+9）y﹣16my﹣64=0 …① 22△=16×9（m+1）＞0恒成立； 设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1，y2是方程①的两个解，由韦达定理得：y1+y2=在x=my﹣1中，令x=0得C点坐标为（0，）…（7分） ，y1y2=﹣ m====（∵A在第一象限，∴x1=my1﹣1＞0，y1＞0） 同理：n==…（9分） ∴m+n=+===2+ ∵A在第一象限，∴C点在椭圆内部 ∴0＜＜22，∴m＞ 2∴8m﹣1＞0，∴m+n＞2 ∴m+n的取值范围是（2，+∞）…（12分） 点本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，确定m，n的表示是关键． 评： 27．（2012?贵州模拟）椭圆C：
的左、右焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），O是坐标
．
原点，C的右顶点和上顶点分别为A、B，且△AOB的面积为（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点P（4，0）作与x轴不重合的直线l与C交于相异两点M、N，交y轴于Q点，证明为定值，
并求这个定值． 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 专题： 综合题；圆锥曲线中的最值与范围问题． 分析： （Ⅰ）利用椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），O是坐标原点，C的右顶点和上顶点分别为A、B，且△AOB的面积为，建立方程组，即可求得椭圆C的方程； ?2010-2014 菁优网