3．如图，已知直线
与抛物线
和圆
都相切，
F是C1的焦点．
（1）求m与a的值；
（2）设A是C1上的一动点，以A为切点作抛物线C1的切线，直线交y轴于点B，以FA，FB为邻边作平行四边形FAMB，证明：点M在一条定直线上；
（3）在（2）的条件下，记点M所在的定直线为l2，直线l2与y轴交点为N，连接MF交抛物线C1于P，Q两点，求△NPQ的面积S的取值范围．
考点： 直线与圆锥曲线的关系． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （1）利用圆心到直线的距离等于半径求出m，再利用导函数与切线的关系求出a的值即可； （2）先求出以A为切点的切线l的方程以及点A，B的表达式，再利用以FA，FB为邻边作平行四边形FAMB，结合向量运算即可求出点M所在的定直线； （3）设直线MF的方程代入抛物线方程，结合根与系数的关系及三角形面积公式得出面积的表达式，从而可求△NPQ的面积S的取值范围． 解答： （1）解：由已知，圆C2：x2+（y+1）2=5的圆心为C2（0，﹣1），半径为 由题设圆心到直线l1：y=2x+m的距离d==，解得m=﹣6（m=4舍去）． 设l1与抛物线的相切点为A0（x0，y0），又y′=2ax，∴2ax0=2 ∴x0=，y0=，代入直线方程得：∴m=﹣6，； ，焦点 F（0，） ，∴ （2）证明：由（1）知抛物线C1方程为y=设 A（x1，），由（1）知以A为切点的切线l的方程为） ） 令x=0，得切线l交y轴的B点坐标为（0，﹣∴=（），=（0，﹣∵以FA，FB为邻边作平行四边形FAMB， ∴=（x1，﹣3） 上；
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∵F是定点，∴点M在定直线
（3）解：直线MF：y=kx+，代入y=∴x1+x2=6k，x1x2=﹣9． ∴S△NPQ=|NF||x1﹣x2|==9 得 ∵k≠0，∴S△NPQ＞9， ∴NPQ的面积S的取值范围（9，+∞）． 点评： 本题综合考查圆与椭圆知识，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查三角形面积的计算，属于中档题． 二．解答题（共27小题）
4．用总长44.8m的钢条制做一个底面是等腰三角形的直三棱柱容器的框架，如果所制做容器的底面的腰长比底边长的一半长1m，那么底面的底边，腰及容器的高为多少时容器的容积最大？（参考数据2.66=7.0756，3.34=11.1556） 考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；函数模型的选择与应用． 专题： 计算题． 分析： 设出底面边长为2x，用x表示出三棱柱的底面的腰长，三棱柱的高，从而得到三棱柱的体积与x的函数关系是解决本题的关键，可以利用导数为工具确定出最大容积时候的x的值，实现该问题的解答． 解答： 解：设容器底面等腰三角形的底边长为2xm，则腰长为（x+1）m， 22
高为3， 设容器的容积为Vm，底面等腰三角形底边上的高为 =， ， 令V′=0，得x﹣2.66x﹣1.02=0，（x﹣3）（x+0.34）=0，由x＞0，解得x=3 当0＜x＜3时V′＞0；3＜x＜5.1时，V′＜0，因此，当x=3时，V有最大值． 答：容器的底面等腰三角形的底边长为6m，腰长为4m，容器的高为5.6m时容器的体积最大． 点评： 本题考查函数的模型思想和意识，考查设未知数表示函数关系的思想，注意实际问题函数的定义域，依据给出的函数表达式利用导数为工具确定所给函数的最值，考查学生的导数工具意识． 5．（2013?四川）已知椭圆C：
（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），且椭圆C经过
2点．
（I）求椭圆C的离心率：
（II）设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且求点Q的轨迹方程． 考点： 曲线与方程；轨迹方程；椭圆的简单性质． 专题： 压轴题；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （I）由题设条件结合椭圆的性质直接求出a，c的值，即可得到椭圆的离心率； ，
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（II）由题设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，可设出直线的方程与椭圆的方程联立，由于两曲线交于两点，故判断式大于0且可利用根与系数的关系建立M，N两点的坐标与直线的斜率k的等量关系，然后再设出点Q的坐标，用两点M，N的坐标表示出求得点Q的轨迹方程． 解答： 解：（I）∵椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F（﹣1，0），F（0），且椭圆C经过点121，． ，再综合计算即可∴c=1，2a=PF1+PF2=∴椭圆的离心率e===…4分 =2，即a= （II）由（I）知，椭圆C的方程为，设点Q的坐标为（x，y） （1）当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于（0，1）、（0，﹣1）两点，此时点Q的坐标为（0，2﹣） （2）当直线l与x轴不垂直时，可设其方程为y=kx+2， 因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为（x1，kx1+2），（x2，kx2+2），则 ，，又|AQ|=（1+k）x，222 ∴22，即=…① 将y=kx+2代入22中，得（2k+1）x+8kx+6=0…② 2由△=（8k）﹣24（2k+1）＞0，得k＞ 由②知x1+x2=﹣，x1x2=，代入①中化简得x=2…③ 因为点Q在直线y=kx+2上，所以k=由③及k＞可知0＜x＜，即x∈（﹣22，代入③中并化简得10（y﹣2）﹣3x=18 ，0）∪（0，） 22由题意，Q（x，y）在椭圆C内，所以﹣1≤y≤1， 又由10（y﹣2）﹣3x=18得（y﹣2）∈[，）且﹣1≤y≤1，则y∈（，2﹣所以，点Q的轨迹方程为10（y﹣2）﹣3x=18，其中x∈（﹣22222） ）…13分 ，），y∈（，2﹣点评： 本题主要考查直线、椭圆、曲线与方程等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查数形结合、转化化归、分类与整合等数学思想，并考查思维的严谨性．本题是圆锥曲线中的常见题型，所考查的解题方式较为典型，本题运算量较大易因为运算失误造成丢分． 6．（2014?深圳一模）如图，直线l：y=x+b（b＞0），抛物线C：y=2px（p＞0），已知点P（2，2）在抛物线C上，且抛物线C上的点到直线l的距离的最小值为（1）求直线l及抛物线C的方程；
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2
．
（2）过点Q（2，1）的任一直线（不经过点P）与抛物线C交于A、B两点，直线AB与直线l相交于点M，记直线PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在实数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．
考点： 直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程；抛物线的标准方程． 专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （1）利用点P（2，2）在抛物线C上，可求抛物线方程，求出与直线l平行且与抛物线C相切的直线l′方程，利用两直线l、l′间的距离即为抛物线C上的点到直线l的最短距离，可得直线l的方程； （2）直线AB的方程为y﹣1=k（x﹣2），与抛物线联立，消去x，利用韦达定理、斜率公式，求出k1+k2，再由得，yM=，求出k3，即可得出结论． 解答： 解：（1）∵点P（2，2）在抛物线C上，∴p=1， 2∴y=2x． …（2分） 设与直线l平行且与抛物线C相切的直线l′方程为y=x+m， 代入抛物线方程可得x+（2m﹣2）x+m=0， ∴△=（2m﹣2）﹣4m=4﹣8m=0，得m=，则直线l′方程为y=x+． ∵两直线l、l′间的距离即为抛物线C上的点到直线l的最短距离， ∴有，解得b=2或b=﹣1（舍去）． 22222∴直线l的方程为y=x+2，抛物线C的方程为y=2x． …（6分） （2）由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y﹣1=k（x﹣2）， 与抛物线联立，消去x得ky﹣2y﹣4k+2=0， 设点A、B的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2）， 则y1+y2=，y1y2=∵k1=，k2=， ，…（9分） 2∴．…（10分） 由得，yM=， ?2010-2014 菁优网
∴k3==，…（13分） ∴k1+k2=2k3． 因此，存在实数λ，使得k1+k2=λk3成立，且λ=2．…（14分） 点评： 本题主要考查抛物线的方程与性质、直线方程、直线与抛物线的位置关系，切线方程，点到直线距离，最值问题等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想． 7．（2014?上饶一模）如图，椭圆C1：
（a＞b＞0）和圆C2：x+y=b，已知圆C2将椭圆C1的长轴三等
2
2
2
分，椭圆C1右焦点到右准线的距离为，椭圆C1的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l
与圆C2相交于点A、B． （1）求椭圆C1的方程；
（2）若直线EA、EB分别与椭圆C1相交于另一个交点为点P、M． ①求证：直线MP经过一定点； ②试问：是否存在以（m，0）为圆心，出所有m的值；若不存在，请说明理由．
为半径的圆G，使得直线PM和直线AB都与圆G相交？若存在，请求
考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题． 分析： （1）由圆C2将椭圆C1的长轴三等分，可得；又椭圆C1右焦点到右准线的距离为，可得，及a=b+c即可得出； （2）①由题意知直线PE，ME的斜率存在且不为0，设直线PE的斜率为k，则PE：y=kx﹣1，与椭圆的方程联立可得点P的坐标，同理可得点M的坐标，进而得到直线PM的方程，可得直线PM过定点． ②由直线PE的方程与圆的方程联立可得点A的坐标，进而得到直线AB的方程．假设存在圆心为（m，0），半径为的圆G，使得直线PM和直线AB都与圆G相交，则圆心到二直线的距离都小于半径．即222（i）解答： ，（ii）．得出m的取值范围存在即可． ，则a=3b． 解：（1）由圆C2将椭圆C1的长轴三等分，∴∴， ?2010-2014 菁优网