从而有22 2∴（2k+1）x+4kmx+2（m﹣1）=0…（10分）． 222由于直线PQ与椭圆C1相切，故△=（4km）﹣4×2（m﹣1）（2k+1）=0 从而可得m=1+2k，22， 222同理，由Q既在圆C2上又在直线PQ上，可得m=r（1+k），…（12分） ∴， 所以 = =…（13分）． 即，当且仅当时取等号， 故P、Q两点的距离|PQ|的最大值．…（14分）． 点评： 本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答． 19．（2012?泉州模拟）已知椭圆C的方程为：（1）求该椭圆的标准方程； （2）设动点P（x0，y0）满足
2
2
，其焦点在x轴上，离心率e=．
，其中M，N是椭圆C上的点，直线OM与ON的斜率之积为﹣，求
证：x0+2y0为定值．
（3）在（2）的条件下，问：是否存在两个定点A，B，使得|PA|+|PB|为定值？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由． 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；圆锥曲线的综合． 专题： 综合题． 分析： （1）根据椭圆焦点在x轴上，离心率，即可求出椭圆的标准方程； （2）假设M，N的坐标，利用向量条件寻找坐标之间的关系，结合点M，N在椭圆明为定值； 上，即可证（3）由（2）知点P是椭圆上的点，根据椭圆的定义可得该椭圆的左右焦点满足|PA|+|PB|为定值． ?2010-2014 菁优网
解答： （1）解：由，b=2，解得2，故椭圆的标准方程为． （2）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），则由即x0=x1+2x2，y0=y1+2y2， ∵点M，N在椭圆∴上， ，得（x0，y0）=（x1，y1）+2（x2，y2）， 设kOM，kON分别为直线OM，ON的斜率，由题意知，∴x1x2+2y1y2=0， 故=即（定值） ， ， （3）证明：由（2）知点P是椭圆∵， 上的点， ∴该椭圆的左右焦点满足为定值， 因此存在两个定点A，B，使得|PA|+|PB|为定值． 点评： 本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查向量知识的运用，考查存在性问题的探究，解题的关键是利用向量知识，将向量坐标化． 20．（2012?南京二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，以原点
为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+2=0相切． （1）求椭圆C的方程； （2）已知点P（0，1），Q（0，2）．设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T，求证：点T在椭圆C上．
考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （1）利用以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+2=0相切，可得b的值，利用离心率 ?2010-2014 菁优网
为，即可求得椭圆C的方程； （2）设M，N的坐标分别为（x0，y0），（﹣x0，y0），求出直线PM、QN的方程，求得x0，y0的值，代入椭圆方程，整理可得结论． 解答： （1）解：由题意，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+2=0相切，∴b=因为离心率e==，所以=，所以a=2． =． 所以椭圆C的方程为． （2）证明：由题意可设M，N的坐标分别为（x0，y0），（﹣x0，y0），则直线PM的方程为y=① 直线QN的方程为y=x+2． ②…（8分） x+1，设T（x，y），联立①②解得x0=，y0=． …（11分） 因为，所以（）+（2）=1． 2整理得=（2y﹣3），所以2﹣12y+8=4y﹣12y+9，即2． 所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．…（14分） 点评： 本题考查椭圆的标准方程与性质，考查直线方程，考查学生的计算能力，属于中档题． 21．（2012?闵行区三模）已知椭圆T：一个顶点，
?
=0．
+
=1（a＞b＞0）的左、右焦点依次为F1，F2，点M（0，2）是椭圆的
（1）求椭圆T的方程；
（2）设G是点F1关于点F2的对称点，在椭圆T上是否存在两点P、Q，使若不存在，请说明理由；
（3）设经过点F2的直线交椭圆T于R、S两点，线段RS的垂直平分线与y轴相交于一点T（0，y0），求y0的取值范围． 考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程． 专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 222分析： （1）由已知得b=2，由?=0可得c，根据a=b+c可求得a； =+，若存在，求出这两点，
（2）由（1）易求F1、F2、G的坐标，假设存在两点P、Q，使=+，则四边形PF1QG是平行四边形，且点P、Q关于点F2对称，进而可得PQ⊥x轴，联立方程组可解得两点P、Q坐标；
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（3）当RS⊥x轴时，易知y0=0；当RS与x轴不垂直时，可设直线RS的方程为y=k（x﹣2）（k≠0）．联立直线方程与椭圆方程消掉y得x的二次方程，设R（x3，y3），S（x4，y4），线段RS的中点为D（xD，yD），由韦达定理及中点坐标公式可求得D点坐标，利用点斜式可得线段RS的垂直平分线方程，令x=0可得y0，按k＜0，k＞0两种情况利用基本不等式即可求得y0的范围； 解答： 解：（1）由已知可得 b=2， 设半焦距为c，则所以a=b+c=8， 所求椭圆方程为． 222=（﹣c，﹣2）?（c，﹣2）=﹣c+4=0，得c=4， 22（2）由（1）可求得F1、F2、G的坐标分别为（﹣2，0）、（2，0）、（6，0）， 设在椭圆T上存在两点P、Q，使称； 由椭圆的对称性可知，PQ⊥x轴，且PQ过点F2，解所以在椭圆T上存在两点P（2，）、Q（2，﹣），使=得：， =+，则四边形PF1QG是平行四边形，且点P、Q关于点F2对+． （3）当RS⊥x轴时，显然y0=0． 当RS与x轴不垂直时，可设直线RS的方程为y=k（x﹣2）（k≠0）． 由消去y整理得，（1+2k）x﹣8kx+8（k﹣1）=0． 2222设R（x3，y3），S（x4，y4），线段RS的中点为D（xD，yD），则 x3+x4=． 所以=，yD=k（xD﹣2）=． 线段RS的垂直平分线方程为y+=﹣（x﹣）． 在上述方程中令x=0，得=． 当k＜0时，+2k≤﹣2，所以﹣，≤y0＜0；当k＞0时，+2k≥2]． ，0＜y0． 综上，y0的取值范围是[﹣点评： 本题考查直线方程、椭圆方程及其位置关系，考查分类讨论思想，考查学生综合运用所学知识分析解决问题的能力． 22．（2012?洛阳一模）如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为AB平行于OM，且交椭圆于A，B两点． （1）求椭圆的方程；
（2）求直线AB在y轴上截距的取值范围；
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，且经过点M（2，1），直线
（3）记直线MA，MB斜率分别为k1，k2．试问k1+k2是否为定值？若是，求出k1+k2的值，否则，说明理由．
考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （1）设出椭圆方程，利用椭圆的离心率为，且经过点M（2，1），可得方程组，求出几何量，即可求得椭圆的方程； （2）设出直线AB的方程，代入椭圆方程，利用判别式，即可求直线AB在y轴上截距的取值范围； （3）利用韦达定理，结合直线的斜率公式，化简即可得到结论． 解答： 解：（1）设椭圆方程为 ∵椭圆的离心率为，且经过点M（2，1）， ∴ ∴a=8，b=2 ∴椭圆方程为（2）∵直线AB∥OM，222； ，∴可设直线AB的方程为2 代入椭圆方程，可得x+2mx+2m﹣4=0 22∴△=（2m）﹣4（2m﹣4）＞0 ∴﹣2＜m＜2 当m=0时，x=±2，这与直线AB∥OM相矛盾，∴m≠0 ∴直线AB在y轴上截距的取值范围是（﹣2，0）∪（0，2）； （3）设A（x1，y1），B（x2，y2），则22，2， 由x+2mx+2m﹣4=0，可得x1+x2=﹣2m，x1x2=2m﹣4， ∴k1+k2===0 即k1+k2为定值0． 点评： 本题考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． ?2010-2014 菁优网