11．（2013?徐州三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：
的离心率
，
A1，A2分别是椭圆E的左、右两个顶点，圆A2的半径为a，过点A1作圆A2的切线，切点为P，在x轴的上方交椭圆E于点Q．
（1）求直线OP的方程； （2）求
的值；
（3）设a为常数，过点O作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点B、C，分别交圆A点M、N，记三角形OBC和三角形OMN的面积分别为S1，S2．求S1S2的最大值．
考点： 直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程． 专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （1）连结A2P，则A2P⊥A1P，且A2P=a，根据已知条件可判断△OPA2为正三角形，从而可得OP斜率、直线OP方程； （2）由（1）可得直线A2P的方程和A1P的方程，联立两方程可得P点横坐标，由离心率可化简椭圆方程，联立A1P的方程与椭圆方程可得Q点横坐标，而=，把各点横坐标代入上式即可求得比值； （3）设OM的方程为y=kx（k＞0），代入椭圆方程可得B点坐标，由两点间距离公式可得OB，用代替上面的k可得OC，同理可得OM，ON，根据三角形面积公式可表示出S1?S2，变形后用基本不等式可其最大值； 解答： 解：（1）连结A2P，则A2P⊥A1P，且A2P=a， 又A1A2=2a，所以∠A1A2P=60°． 又A2P=A2O，所以△OPA2为正三角形， 所以∠POA2=60°， 所以直线OP的方程为． （2）由（1）知，直线A2P的方程为联立①②解得因为，即． ，所以，， ①，A1P的方程为②， 故椭圆E的方程为． ?2010-2014 菁优网
由解得， 所以==． （3）不妨设OM的方程为y=kx（k＞0）， 联立方程组解得， 所以； 用代替上面的k，得． 同理可得，，． 所以． 因为， 当且仅当k=1时等号成立， 所以S1?S2的最大值为． 点评： 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、直线方程及圆的方程，考查学生的运算能力，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，能力要求较高． 12．（2013?温州二模）如图．直线l：y=kx+1与椭圆C1：
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2
交于A，C两点，A．C在x轴两侧，B，
D是圆C2：x+y=16上的两点．且A与B．C与D的横坐标相同．纵坐标同号． （I）求证：点B纵坐标是点A纵坐标的2倍，并计算||AB|﹣|CD||的取值范围；
（II）试问直线BD是否经过一个定点？若是，求出定点的坐标：若不是，说明理由．
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考点： 直线与圆锥曲线的关系；两点间的距离公式． 专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （I）设A（x1，y1），B（x1，y2），分别代入椭圆、圆的方程可得，消掉x1得，由y1，y2同号得y2=2y1，设C（x3，y3），D（x3，y4），同理可得y4=2y3，联立直线与椭圆方程消掉y得x2的二次方程，由A、C在x轴的两侧，得y1y3＜0，代入韦达定理可求得k范围，而||AB|﹣|CD||=||y1|﹣2|y3||=|y1+y3|=|k（x1+x3）+2|，再由韦达定理及k范围即可求得答案； （II）由斜率公式求出直线BD的斜率，由点斜式写出直线BD方程，再由点A在直线l上可得直线BD方程，从而求得其所过定点． 解答： （I）证明：设A（x1，y1），B（x1，y2）， 根据题意得：?， ∵y1，y2同号，∴y2=2y1， 设C（x3，y3），D（x3，y4），同理可得y4=2y3， ∴|AB|=|y1|，|CD|=|y3|， 由?（4k+1）x+8kx﹣12=0，△＞0恒成立， 22则，， ∵A、C在x轴的两侧，∴y1y3＜0， ∴（kx1+1）（kx3+1）=kx1x3+k（x1+x3）+1=∴， ∈（0，）； 2＜0， ∴||AB|﹣|CD||=||y1|﹣|y3||=|y1+y3|=|k（x1+x3）+2|=（II）解：∵直线BD的斜率=2k， ∴直线BD的方程为y=2k（x﹣x1）+2y1=2kx﹣2（kx1﹣y1）， ∵y1=kx1+1，∴直线BD的方程为y=2kx+2， ∴直线BD过定点（0，2）． 点评： 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、两点间的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，本题中多次用到韦达定理，应熟练掌握． 13．（2013?松江区一模）对于双曲线C：
，定义C1：
，为其伴随曲线，
记双曲线C的左、右顶点为A、B．
（1）当a＞b时，记双曲线C的半焦距为c，其伴随椭圆C1的半焦距为c1，若c=2c1，求双曲线C的渐近线方程； （2）若双曲线C的方程为x﹣y=1，过点点，求△ON1N2的面积（O为坐标原点）
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且与C的伴随曲线相切的直线l交曲线C于N1、N2两
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（3）若双曲线C的方程为
，弦PQ⊥x轴，记直线PA与直线QB的交点为M，求动点M的轨迹方程．
考点： 直线与圆锥曲线的关系；三角形的面积公式；双曲线的标准方程． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （1）利用双曲线的a、b、c的关系及椭圆的a、b、c1的关系及双曲线的渐近线的方程即可得出； （2）根据直线与圆相切的性质即可求出切线的斜率，利用两点间的距离公式即可求出弦长|N1N2|，进而即可求出面积； （3）设出点P、Q的坐标，利用点斜式得出直线PA、QB的方程，联立即可得出交点M的坐标，反解出点P的坐标，利用代点法即可求出轨迹． 解答： 解：（1）∵，， 由c=2c1，得，即a+b=4（a﹣b） 2222可得 ， ∴C的渐近线方程为． 22（2）双曲线C的伴随曲线的方程为x+y=1，设直线l的方程为由l与圆相切知即 3k=1+k 22， 解得当， 时，设N1、N2的坐标分别为N1（x1，y1）、N2（x2，y2） 由得，即， ∵∴|x1﹣x2|==，，x1x2=﹣5． =． ∴， ∴由对称性知，当时，也有； ． （3）设P（x0，y0），则Q（x0，﹣y0），又A（﹣2，0）、B（2，0）， ∴直线PA的方程为…① ?2010-2014 菁优网
直线QB的方程为…② 由①②得 ∵P（x0，y0）在双曲线上， ∴，∴． 因此动点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，其方程为． 点评： 熟练掌握圆锥曲线的定义与性质及直线与圆锥曲线的相交、相切问题的解题模式及弦长公式、点到直线的距离公式是解题的关键． 14．（2012?咸阳三模）已知抛物线x=4y，过点A（0，a）（其中a为正常数）任意作一条直线l交抛物线C于M，N两点，O为坐标原点． （1）求
的值；
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（2）过M，N分别作抛物线C的切线l1，l2，试探求l1与l2的交点是否在定直线上，证明你的结论． 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角． 专题： 综合题． 分析： （1）设直线l方程与抛物线方程联立，利用韦达定理及向量的数量积公式，即可求的值； （2）求导数，可得切线方程，联立方程，即可得到l1与l2的交点在定直线y=﹣a上． 解答： 解：（1）设直线l方程为y=kx+b，M（x1，y1），N（x2，y2） 由消去y得x﹣4kx﹣4a=0，所以x1+x2=4k，x1x2=﹣4a =﹣4ak+4ak+a=a ．…（6分） 222∴故（2）求导数，可得，设l1方程为，整理得 同理得l2方程为…（9分） ?2010-2014 菁优网