又椭圆C1右焦点到右准线的距离为∴∴椭圆方程为，∴b=1，则a=3， ． ， （2）①由题意知直线PE，ME的斜率存在且不为0，设直线PE的斜率为k，则PE：y=kx﹣1， 由得或 ∴， 用去代k，得， ， ∴PM：，即， ∴直线PM经过定点． ②由得或 ∴， 则直线AB：， 设，则t∈R，直线PM：，直线AB：y=5tx， 假设存在圆心为（m，0），半径为的圆G，使得直线PM和直线AB都与圆G相交， 则（i）由（i）得
，（ii）． 对t∈R恒成立，则
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，
由（ii）得，当即时，不合题意；当， 的圆G，使得直线PM和直线AB都与圆G相交，所有m的取值集合为时，对t∈R恒成立， ，得，∴存在圆心为（m，0），半径为． 点评： 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到交点的坐标、直线与圆相交问题转化为圆心到直线距离小于半径、点到直线的距离公式、恒成立问题的等价转化等基础知识与搅拌机能力、考查了推理能力、计算能力，属于难题． 8．（2014?德州一模）已知点A、B分别是椭圆
=1（a＞b＞0）长轴的左、右端点，点C是椭圆短轴的一个
端点，且离心率e=
，S△ABC=
．动直线，l：y=kx+m与椭圆于M、N两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若椭圆上存在点P，满足
（O为坐标原点），求λ的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当λ取何值时，△MNO的面积最大，并求出这个最大值． 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 专题： 向量与圆锥曲线． 分析： （Ⅰ）由离心率及三角形的面积联立方程组，求出几何量，即可求椭圆的方程； （Ⅱ）直线方程代入椭圆方程，分类讨论，确定P的坐标，利用P在椭圆上，即可求λ的取值范围； （Ⅲ）求出|MN|，点O到直线MN的距离，利用面积公式，结合基本不等式，即可求△MNO面积． 解答： 解：（Ⅰ）由题意，，∴ ∴椭圆的方程为； 222（Ⅱ）y=kx+m代入椭圆方程整理可得（1+2k）x+4kmx+2m﹣2=0． 设点M、N的坐标分别为M（x1，y1）、N（x2，y2）、P（x0，y0），则 x1+x2=﹣，x1x2= ∴y1+y2=k（x1+x2）+2m=（1）当m=0时，点M、N关于原点对称，则λ=0． （2）当m≠0时，点M、N不关于原点对称，则λ≠0， ∵，∴（x1，y1）+（x2，y2）=λ（x0，y0）， ∴x1+x2=λx0，y1+y2=λy0， ?2010-2014 菁优网
∴x0=﹣∵P在椭圆上， ∴22222，y0= 化简，得4m（1+2k）=λ（1+2k）． 2∵1+2k≠0， 222∴有4m=λ（1+2k）．…① 222222又∵△=16km﹣4（1+2k）（2m﹣2）=8（1+2k﹣m）， 22∴由△＞0，得1+2k＞m．…② 2将①、②两式，∵m≠0，∴λ＜4， ∴﹣2＜λ＜2且λ≠0． 综合（1）、（2）两种情况，得实数λ的取值范围是﹣2＜λ＜2； （Ⅲ）由题意，|MN|=，点O到直线MN的距离d= ∴S△MNO=== 由①得，代入上式并化简可得S△MNO= ∵=2 ∴S△MNO≤2 2当且仅当λ=4﹣λ，即∴当时，等号成立 ． 时，△MNO的面积最大，最大值为点评： 本题主要考查待定系数法求圆锥曲线的方程，要注意椭圆的三个参数的关系为：a2=b2+c2；求解直线与椭圆的位置关系问题，通常是联立方程组，利用韦达定理求解． 9．（2014?崇明县一模）已知圆C1的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l1：（1）求圆的标准方程；
（2）设点A为圆上一动点，AN⊥x轴于N，若动点Q满足：动点Q的轨迹方程C2； （3）在（2）的结论下，当
时，得到曲线C，与l1垂直的直线l与曲线C交于B、D两点，求△OBD面积的
相切．
，（其中m为非零常数），试求
最大值． 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；向量在几何中的应用；直线与圆的位置关系． 专题： 综合题；压轴题． 分析： （1）设圆的半径为r，圆心到直线l1距离为d，则．由此能求出圆的方程． ?2010-2014 菁优网
（2）设动点Q（x，y），A（x0，y0），AN⊥x轴于N，N（x0，0）由题意，（x，y）=m（x0，y0）+（1﹣m）（x0，0），所以，由此能求出动点Q的轨迹方程． （3）时，曲线C方程为，设直线l的方程为y=﹣x+b．设直线l与椭圆交点B（x1，y1），D（x2，y2），联立方程大值． 解答： ，得7x﹣8bx+4b﹣12=0．由此能求出△OBD面积的最22解：（1）设圆的半径为r，圆心到直线l1距离为d，则圆C1的方程为x+y=4，2分 （2）设动点Q（x，y），A（x0，y0），AN⊥x轴于N，N（x0，0） 由题意，（x，y）=m（x0，y0）+（1﹣m）（x0，0），所以22，2分 ，2分 即：，将代入x+y=4，得22，3分 （3）时，曲线C方程为，设直线l的方程为y=﹣x+b 设直线l与椭圆交点B（x1，y1），D（x2，y2） 联立方程得7x﹣8bx+4b﹣12=0，1分 22因为△=48（7﹣b）＞0，解得b＜7，且∵点O到直线l的距离∴（当且仅当b=7﹣b即2222，2分 ． ，=时取到最大值），1分 ，2分 ∴△OBD面积的最大值为．1分． 点评： 本题考查圆的方程和椭圆方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，具体涉及到圆的简单性质、椭圆的性质和应用、直线和圆锥曲线的位置关系的应用．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化． ?2010-2014 菁优网
10．（2013?烟台二模）已知椭圆M：：
+
=1（a＞0）的一个焦点为F（﹣1，0），左右顶点分别为A，B．经过
点F的直线l与椭圆M交于C，D两点． （Ⅰ）求椭圆方程； （Ⅱ）当直线l的倾斜角为45°时，求线段CD的长； （Ⅲ）记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1﹣S2|的最大值． 考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （Ⅰ）由焦点F坐标可求c值，根据a，b，c的平方关系可求得a值； （Ⅱ）写出直线方程，与椭圆方程联立消掉y得关于x的一元二次方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得|CD|； （Ⅲ）当直线l不存在斜率时可得，|S1﹣S2|=0；当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k≠0），与椭圆方程联立消y可得x的方程，根据韦达定理可用k表示x1+x2，x1x2，|S1﹣S2|可转化为关于x1，x2的式子，进而变为关于k的表达式，再用基本不等式即可求得其最大值； 2解答： 解：（I）因为F（﹣1，0）为椭圆的焦点，所以c=1，又b=3， 所以a=4，所以椭圆方程为2=1； （Ⅱ）因为直线的倾斜角为45°，所以直线的斜率为1， 所以直线方程为y=x+1，和椭圆方程联立得到 2，消掉y，得到7x+8x﹣8=0， 所以△=288，x1+x2=所以|CD|=，x1x2=﹣， ×=； |x1﹣x2|=（Ⅲ）当直线l无斜率时，直线方程为x=﹣1， 此时D（﹣1，），C（﹣1，﹣），△ABD，△ABC面积相等，|S1﹣S2|=0， 当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k≠0）， 设C（x1，y1），D（x2，y2）， 和椭圆方程联立得到，消掉y得（3+4k）x+8kx+4k﹣12=0， 2222显然△＞0，方程有根，且x1+x2=﹣，x1x2=， 此时|S1﹣S2|=2||y1|﹣|y2||=2|y1+y2|=2|k（x2+1）+k（x1+1）| =2|k（x2+x1）+2k|==≤==，（k=时等号成立） 所以|S1﹣S2|的最大值为． 点评： 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆的标准方程的求解，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，难度较大．
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