2010－2011学年度第一学期江苏省南通市六所省重点高中联考试卷 数 学 Ⅰ试 题 2011.1
x?(0,?7、设2，则函数(
)sinx?21sinx2)(cosx?2)2cosx的最小值是 ▲
125答案：4 11、在△ABC中，且
?A?π6，D是BC边上任意一点（D与B、C不重合）， ，则?B等于 ▲
f(????????????????22|AB|?|AD|?BD?DC?12、已知函数f(x)?xsinx，x?R，则
5，f(1)，
)f（??3）的大小关系为 ▲
16、（本题满分14分）已知向量m?(sinA,sinB)，n?(cosB,cosA)，m?n?sin2C， 其中A、B、C为?ABC的内角. (Ⅰ)求角C的大小；
(Ⅱ)若sinA，sinC，sinB成等差数列，且CA?(AB?AC)?18，求AB的长. 解：(Ⅰ)
m?n?sinA?cosB?sinB?cosA?sin(A?B) ………………………(2分)
对于?ABC,A?B???C,0?C???sin(A?B)?sinC，
?m?n?sinC. ………………………(4分)
?sin2C?sinC,cosC?12,C??又?m?n?sin2C，(Ⅱ)由
.3 ………………………(7分)
sinA,sinC,sinB成等差比数列,得2sinC?sinA?sinB，
由正弦定理得2c?a?b. ………………………(9分) ?CA?(AB?AC)?18,?CA?CB?18，
即abcosC?18,ab?36. 由余弦弦定理
……………………(12分)
2c2?a?b?2abcosC?(a?b)?3ab1
22，
?c2?4c?3?36,c22?36，
?c?6. …………………(14分)
江苏省2010高考数学模拟题(压题卷)
????????3．已知点O为△ABC的外心，且，，则AO?BC的值等于 6 ．
????????c(a?c)?(b?c)?04．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足，则
????AC?4????AB?2的最大值是2．
x?n?126. 已知二、
2，函数sinx?4cos2x的最小值是 8 .
??m?(cosA,sinA)?n?(cosB,sinB)1．已知在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，向量
???m?n?3sinB?cosC．
，，
(1)求角A的大小； (2)若a=3，求△ABC面积的最大值．
??m解：(1)?n?cosAcosB?sinAsinB，
又
??m?n?3sinB?cos(A?B)?3sinB?cosAcosB?sinAsinB，
n? ?3siB?A?2sBinAsin ，
sinA?32，
?3或
22
A?2?3．
(2)a?b?c?2bccosA，
A?2?3时，b?c?bc?9?bc，
22 ①当
?s?12bcsinA?34bc?934；
A?2?223时，9?b?c?bc?3bc，故bc?3，
②当
2
?S?12bcsinA?334．
六、函数题
1．如图，海岸线MAN，?A?2?,现用长为l的拦网围成一养殖场，其中B?MA,C?NA． (1)若BC?l,求养殖场面积最大值；
(2)若B、C为定点，BC?l，在折线MBCN内选点D， 使BD?DC?l，求四边形养殖场DBAC的最大面积． 解：(1)设AB?x,AC?y,x?0,y?0.
l2?x2?y2?2xycos2??2xy?2xycos2?，
xy?l22?2cos2?12?l224sin?，
l2S?xysin2??1??2sin?cos??224sin?4sin?，
lcos?2lcos?2所以，△ABC 面积的最大值为4sin?，当且仅当x?y时取到． (2)设AB?m,AC?n(m，n为定值)． BC?2c(定值) ，
1
由DB?DC?l?2a，a =l，知点D在以B、C为焦点的椭圆上，
2
S?ABC?12mnsin2?为定值．
只需?DBC面积最大,需此时点D到BC的距离最大, 即D必为椭圆短轴顶
b?a?c?22l2点．
4?c,S?BCD21面积的最大值为2l2?2c?b?c?l24?c2，
1因此,四边形ACDB面积的最大值为2m?n?sin2??c?4?c2．
2． 如图，某机场建在一个海湾的半岛上，飞机跑道AB的长为4.5km，且跑道所在的直线与海岸线l的夹角为60（海岸——可以看作是直线），跑道上离海岸线距离最近的
o 3
点B到海岸线的距离BC?43km,D为海湾一侧海岸线CT上的一点，设CD?x(km)，点D对跑道AB的视角为?． (1)将tan?表示为x的函数； (2)求点D的位置，使?取得最大值．
解：(1)过A分别作直线CD，BC的垂线，垂足分别为E，F．
由题知，AB?4.5,BC?43,?ABF?90??60??30?，所以
9CE?AF?4.5?sin30??4B,F?4.?59cos3?0?425A3E,?CF?BC?BF?43，因为CD?x(x?0)，所以
tan?BDC?BCCD?43x.
2594时，
94AEED?4x?394?2534x?9x?ED?x?,tan?ADC?当
AEED2534x?9(如图2)，
0?x?94时,
ED?94?x,tan?ADC???（如图1），当
所以tan??tan?ADB?tan(?ADC??BDC)
253?tan?ADC?tan?BDC1?tan?ADC?tan?BDC??434x?9x93(x?4)925343?x?.1??x(4x?9)?3004 4x?9x，其中x?0且
tan??93(x?4)x(4x?9)?300,x?0x?94，
tan??CEBC?9348符合上式．所以
当
.
tan??93(x?4)x(4x?9)?300?934(x?4)?400x?4?41,x?0(2)
4(x?4)?400x?4，
?41?39?41?24(x?4)?400x?4因为，
4(x?4)?400x?4，即x?6时取等号．
当且仅当
4
所以当x?6时，
4(x?4)?400x?4?41取最小值39，
33所以当x?6时，tan?取最大值13，
(0,?由于y?tanx在区间
2上是增函数，所以当x?6时?取最大值，
)答：在海湾一侧的海岸线CT上距C点6km处的D点处观看飞机跑道的视角最大． 2011届江苏省苏州市迎二模六校联考数学试题
9.在△ABC中,已知b=22,a=2,如果三角形有解,则角A的取值范围是
π
答案：(0,] 4
二、
16．(本小题满分14分) 在?ABC中，点M是BC的中点，?AMC的三边长是连续三个正整数，tan∠C?tan∠BAM=1 (1)判断?ABC的形状；
(2)求∠BAC的余弦值。
A 答案：（I）设?BAM??,?MAC??,
则由tan∠C?tan∠BAM=1得??C?90????B?90?…………1分
B BM?AMsinB,即sinBsin??AMMB.M C
?ABM中，由正弦定理得sin?sinC?AMMC,
同理得
sin? …………3分
?sinCsin?,?MB?MC,?sinBsin??sin?sinC?sin?sinB
???C?90?,??B?90?,?sin?cos??sin?cos? …………6分
即sin2??sin2?,????或????90?
AM?12BC?MC,当
????90?时，与?AMC的三边长是连续三个正整数矛盾，
????,??B??C，?ABC是等腰三角形。………………………………………8分 （II）在直角?AMC中，设两直角边分别为n,n?1,斜边为n?1, 由
(n?1)2?n?(n?1)22得n=4，……………………………………………………10分
5