（1）∵
????????BP?PA， ????????????????????????????
∴
BO?OP?PO?OA，即2OP?OB?OA， 3分 ???? ∴OP?1????2OA?1????2OBx?1y1，即
2?，2 5分
???????? （2）∵
BP?3PA， ????????????????????????????
∴
BO?OP?3PO?3OA，即4OP?OB?3OA 7分 ????3????OP?OA?1????OB
∴44 8分 x?3 ∴
4y?1，
4 9分
????????P?AB?(3????1????????????O
4OA?4OB)?(OB?OA) 10分 1????????3????????1?????????OB?OB?
44OA?OA?2OA?OB 12分 ?1234?2?4?42?14?2?1
2?2??9 14分
17．（本题满分14分）
如图，在半径为3、圆心角为60?的扇形的弧上任取一点P，作扇形的
内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点N,M在OB上，设矩形PNMQ的面积为y,
（1）按下列要求写出函数的关系式： ①设PN?x，将y表示成x的函数关系式；
②设?POB??，将y表示成?的函数关系式，
请你选用（1）中的一个函数关系式，求出
y的最大值.
317、解：（1）①因为ON?3?x2 ，
OM?3x，
21
所以
2MN?3?x?233x，…………………??????????… 2分
y?x(3?x?所以
3x),x?(0,)32.…………………??????… 4分
333sin??sin?3②因为PN?3sin?，ON?3cos?，
OM??，
所以MN?ON?OM?所以y?3cos??sin?………????????… 6分
3sin?(3cos??sin?)，
?3))即
y?3sin?cos??3sin?2(??(0,，
………………???? 8分
3sin(2?? （2）选择
???(0,y?3sin?cos??3sin??2?6)?32，………?… 12分
?3
)?2???6?(?5?6,6????………………????… 13分
) 所以
ymax?32.………………???????……………????… 14分
江苏省常州市2011届高三复习迎考试卷数学试题Ⅰ
二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C所对的边，且b2=ac，向量
m??cos(A?C)，1?32和n?(1，cosB)满足
32m?n?.（1）求sinAsinC的值；（2）求证：三角形
ABC为等边三角形．
m?n?cos(A?C)?cosB?32【解】（1）由得，
3， ……………………2分
又B=π?(A+C)，得cos(A?C)?cos(A+C)=2， ……………………4分
33即cosAcosC+sinAsinC?(cosAcosC?sinAsinC)=2，所以sinAsinC=4． …………6分
2【证明】（2）由b2=ac及正弦定理得sinB?sinAsinC，故
sinB?234.……………8分
cosB?12cosB?1?234?14cosB?12于是
B?π3，所以
或2. 因为cosB =2?cos(A?C)>0， 所以
?13，
故
． ………………… 11分
22
22222222由余弦定理得b?a?c?2accosB，即b?a?c?ac，又b2=ac，所以ac?a?c?ac，
得a=c. 因为
B?π3，所以三角形ABC为等边三角形. ………………… 14分
A
18．（本小题满分15分）某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC的三个顶点处，
已知AB=AC=6km，现计划在BC边的高AO上一点P处建造一个
变电站. 记P到三个村庄的距离之和为y. （1）设?PBO??，把y表示成?的函数关系式；
（2）变电站建于何处时，它到三个小区的距离之和最小？ 【解】（1）在Rt?AOB中，由题意知
0???π4P B
π4AB?6，所以
OB=OA=32.所以
?ABC?O (18题图）
C
. ……………………2分
所以点P到A、B、C的距离之和为
y?2PB?PA?2?32cos??(32?32tan?)?32?32?2?sin?cos? . ……………………6分
故所求函数关系式为（2）由（1）得又当
0???π4y?32?32?2sin??1cos?22?sin?π0???cos?4. ……………………7分
??y??32??，令y?0即
sin??12，
，从而
??π6. ……………………9分.
π???π40???π6π6?时，y?0；当6?时, y?0.
所以当此时
?? 时，
π6y?4?32?2?sin?cos?取得最小值， ………………… 13分
OP?32tan?6（km），即点P在OA上距O点6km处.
【答】变电站建于距O点6km处时，它到三个小区的距离之和最小. ………… 15分 江苏省常州市北郊中学2011届高三上学期统一练习（数学）
1?2sin20cos1600003.sin1600?1?sin2?20 -1
OB?(5sin(5?2??),5cos(?25.在?OAB（O为原点）中，OA?(2cos?,2sin?)，
??))，
53S若OA?OB??5，则?AOB的值为
2
23
二、解答题
A?1, 0?, B?0, 1?C?cos?, sin??D?cos?, sin??15.已知：，，是单位圆上的四个点，
O为原点．
????????2?6AC?BC????0, ??2（1）若，，求?的值；
（2）若
????2????AC?BD2????2?????6, AD?BC2?3，求
sin?????的值．
，
15.解：（1）
????????AC??cos??1, sin??, BC??cos?, sin??1?????????2?6AC?BC?cos??cos??1??sin??sin??1??1??sin??cos???2∴，
??6??3???2sin??????sin?????4?2，即4?2 ??∴
∵
???0, ??， ∴
???4??3或
???4?2?3， ∴
???12或
??5?12．??6分
（2）
????????AD??cos??1, sin??, BC??cos?, sin??1?????2????AC?BD2????????AC??cos??1, sin??, BD??cos?, sin??1?，
，
，
∴
?2?2cos??2?2sin??4?2?cos??sin???6∴cos??sin???1???????① 又
????2????AD?BC2?2?2cos??2?2sin??4?2?cos??sin???312?????????②
cos??sin??∴
①2+②2：
2?2?cos?sin??cos?sin???54，∴
sin???????38．??14分
江苏省常州市武进区横山桥高级中学2011届高三上学期期中考试（数学理）
2、tan2010?的值为___▲___．
f(x)?3sin(?x? ?6)6、已知函数
(??0)和g(x)?3cos(2x??)的图象的对称中心
24
x?[0,?完全相同，若
2，则f(x)的取值范围是___▲___ ．
]
9、△ABC中， a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边.如果a、b、c成等差数列，
3?B?30?，△ABC的面积为2，那么b?___▲___．
x,x,?,xn10、如果函数f(x)在区间D上是“凸函数”，则对于区间D内任意的12，有
f(x1)?f(x2)???f(xn)n?f(x1?x2???xnn)成立. 已知函数y?sinx在区间
[0?,上是“凸函数”]，则在△ABC中，sinA?sinB?sinC的最大值是___▲___．
二、解答题：本大题共六小题，共计90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15、（本题满分14分） 已知向量
??p?(sinx,3cosx)，
?q?(cosx,cosx)，定义函数
???f(x)?p?q.
（1）求f(x)的最小正周期T；
（2）若△ABC的三边长a,b,c成等比数列，且c?ac?a?bc，求边a所对角A
22以及f(A)的大小．
15、解：(1)f(x)＝p·q＝ (sin x，3cos x)·(cos x，cos x)＝sin xcos x＋3cos2x??????2分
1＋cos 2x1
＝sin 2x＋3· 22133＝sin 2x＋cos 2x＋ 222
π3＝sin(2x＋)＋.????????????????????????????4分
32
∴f(x)的最小正周期为
2π
T＝＝π.????????????????????????6分
2
(2)∵a、b、c成等比数列，∴b2＝ac，?????????????????????7分 又c2＋ac－a2＝bc. ∴cos A＝
b2＋c2－a2ac＋c2－a2bc1
＝＝＝.?????????????????10分 2bc2bc2bc2
π
又∵0
3
25