由余弦定理或二倍角公式得
7cos?BAC?.25
7或
cos?BAC??.25 ……………………………………………………………………14分
19．(本题满分16分) 如图,某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(Rt?FHE,H是直角顶点)来处理污水,管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的接口H是AB的中点，E,F分别落在线段BC,AD上.已知AB=20米，AD=103米，记∠BHE=θ. （1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数,并写出定义域； （2）若sinθ+cosθ=2，求此时管道的长度L；
（3）问：当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度. 解：（1）EH=10cosθ，FH=10
sinθ
………………………………………………………………2分 EF=
10
sinθcosθ
……………………………………………………………………4分
由于BE=10tanθ≤103, AF=
103ππtanθ≤103 故3≤tanθ≤3,θ∈[6,3
]………………………5分 L=101010cosθ+sinθ+sinθcosθ，θ∈[π6,π3].……………………………………………………6分 (2) sinθ+cosθ=2时，sinθ?cosθ=1
2,……………………………………………………8分
L=20(2+1);……………………………………………………………………10分
(3)L=10cosθ+10sinθ+10sinθcosθ=10(sinθ+cosθ+1sinθcosθ)
设sinθ+cosθ=t 则sinθ?cosθ=
t2-1
2
………………………………………………………12分 由于θ∈[π6,ππ3+13]，所以t=sinθ+cosθ=2sin(θ+4)∈[2, 2]…………………………14分
L=20t-1在[3+12, 2]内单调递减， 于是当t=3+12时，即θ=π6,θ=π
3时L的最大值20(3+1)米. ……………………………15分 答：当θ=π6或θ=π
3
时所铺设的管道最短，为20(3+1)米.…………………………………16分
江苏省淮州中学2010—2011学年度第一学期中考试高三数学试卷 ?????3．已知
|a|?1，
|b|?2，且a?(a?b)??，则向量a与向量b的夹角是 ?答案：4
f(x)?f?(?2)sinx?cosxf(?)4．已知函数
，则
4= ▲ ．
6
▲ ．
答案：0
6，11．在△ABC中，D是BC边上任意一点（D与B、C不重合），且
则?B等于 ▲ ．
5π?A?π????????????????22|AB|?|AD|?BD?DC，
答案：12 二、
16．（本小题满分14分）
????????o给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120. ????????（1）求|OA+OB|；
????AB（2）如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动．若????????OC?xOA?????yO,B其中x,y?R,求x?y的最大值？
????????解：（1）|OA+OB|=?????????OA?OB?2?????2????????????2OA?2OA?OB?OB?1?2?1?1?(?212)?1?1
?13??,??22????，C?cos?,sin??． （2）如图所示，建立直角坐标系，则A（1，0），B????????????OC?xOA?yOB,cos??x?y2，
sin??32y由得
233．
???2sin????3sin??cos?6? ?=
x?cos??33?sin?,y?sin?即
???0,??3??2．则x?y?又
?，则
?????5?????,??6?66??，故当3时，x?y的最大值是2．
江苏连云港市2011届高三上学期第一次调研考试（数学）数学Ⅰ试题
?9.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，若sinA?3sinC，B?30，b?2，则
△ABC的面积是 ▲. 答案：3 11．在△ABC中，且
?A?π6，D是BC边上任意一点（D与B、C不重合）， ，则?B等于 ▲ ．
????????????????22|AB|?|AD|?BD?DC5π答案：12
7
二、解答题
15.（本小题满分14分）
f(x)?sin(2x??6)?cos(2x??3)?2cosx2已知函数
.
（1）求
f()12的值；
?（2）求f(x)的最大值及相应x的值．
f(?12解：（1）
?sin?3)?sin(2??12??6)?cos(2??12??3)?2cos2?12
?cos?2?1?cos?6 …………2分
?32?0?1?32
?3?1…………………………6分
?6?32?f(x)?sin(2x?)?cos(2x?)?2cosx（1）
?sinx2?co?s6
cxos?3?sin2xs?in2cos21
??cxos2?sinx6?cos?23…10分
3sin2x?cos2x?1?2sin(2x??6)?1，…………12分
?当
sin(2x??6)?1时，f(x)max?2?1?3，
?62x??6?2k???此时，
2即
,x?k??(k?Z)，…………………14分
江苏省南通中学2010—2011学年度高三第一学期中考试数学
f(x)?f?(?24.已知函数答案：0
)sinx?cosxf(?，则
)4= ▲ ．
16．（本小题满分14分）
????????o给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120.
8
????????（1）求|OA+OB|；
????????????????（2）如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动．若OC?xOA?yOB,其中x,y?R,
求x?y的最大值？
????????解：（1）|OA+OB|=
?????????OA?OB?2?????2????????????2OA?2OA?OB?OB?1?2?1?1?(?212)?1?1
…………………………………4分
?13??,??22????，C?cos?,sin??． （2）如图所示，建立直角坐标系，则A（1，0），B????????????OC?xOA?yOB,cos??x?y2，
sin??32y由得
233．
???2sin????3sin??cos?6? ?=
x?cos??33?sin?,y?sin?即
???0,??3??2．则x?y?又
?，则
?????5?????,??6?66??，故当3时，x?y的最大值是2．………14分
17．（本小题满分15分）
在?ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c,且acosC,bcosB,ccosA成等差数列． （1）求B的值； （2）求
2sinA?cos(A?C)2的范围．
解：（1）?acosC,bcosB,ccosA成等差数列，
? acosC?ccosA?2bcosB．
由正弦定理得，a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC. 代入得，2RsinAcosC?2RcosAsinC?4RsinBcosB， 即：sin(A?C)?sin2B，
? sinB?sin2B．
又在?ABC中，B?2B或B?2B??．
B??3. ………………………………………………7分
9
? 0?B??，?
B??3，
2?A?C?2?3．
cAo?s22?Ac?os(23
)（2）? ?2sinA?coAs?(C?)?1?1?cos2A?12cos2A?32sin2A?1?32sin2A?32cos2A?1?3sin(2A??)3
?
0?A?2?3，
??3?2A??312????32?sin(2A??3)?1．
?2sinA?cos(A?C)2(?,1?3]的范围是
……………………15分
2011届江苏高考数学权威预测题
b6、在锐角?ABC中，?A?2?B,?B,?C的对边长分别是b,c，则b?c的取值范围是 ▲ .
11(,)答案：32
13已知?ABC中，I为内心，▲ .
2???????????AC?2,BC?3,AB?4,且AI?xAB?yAC，则
x?y的值为
答案：3 二、解答题
????1????2????AP?AB?AC35如图，正△ABC的边长为15，，
C 15、(14分)
P ????1????2????BQ?AB?AC55．
Q
B A （1）求证：四边形APQB为梯形； （2）求梯形APQB的面积．
????????????????PQ?PA?AB?BQ解：（1）因故
????PQ?2????????1????2????13????1????AB?AC?AB?AB?ACAB553515==，?4分
????????????????????PQPQAB，且|∥|=13，|AB|=15，||≠|AB|，于是四边形APQB为梯形．?7分
?????????2AM?AC5（2）设直线PQ交AC于点M，则
2，故梯形APQB的高h为正△ABC的AB边上高的5，
10