即
h?25?32?15?33． ????11分
1(13?15)?33?423从而，梯形APQB的面积为2．
017、（14分）在海岸A处，发现北偏东45方向、距离A处3?1海里的B0处有一艘走私船；在A处北偏西75方向、距离A处2海里的C处的辑私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船.同时，走私船正以10海里/
C 小时的速度从B处向北偏东30方向逃窜，问辑私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少时间？
解：设辑私船t小时后在D处追上走私船，则有CD?103t,BD?10t. 在?ABC中，AB?3?1,AC?2,?ABC?1200D
B A
0.利用余弦定理可得BC?32?22,
06.?4分
sin?ABC?ACBCsin?BAC?26?由正弦定理，
0得?ABC?45，即BC与正北方向垂直.于是?CBD?120.?????8分
sin?BCD?BDsin?CBDCD?10t?sin120103t610.?????12分
0?12
在?BCD中，由正弦定理得，
CD?BCsin300103t得?BCD?30, 又sin12000，
3?6t?，得
6答：当辑私船沿东偏北30?的方向能最快追上走私船，最少要花10小时. ??14分 江苏省2011届高三上学期苏北大联考（数学） 数学Ⅰ试题
b，则tanx= ★5、已知向量a??sinx,cosx?,b??1,?2?，且a∥ ；
?12
答案：
二、解答题
15、（本小题共14分）
f(x)?sinx2?2cos2x4
11
已知函数
（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；
（Ⅱ）在?ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c， 若(2a?c)cosB?bcosC，求f(A)的取值范围。
f?x??sinx2?cosx2?1??x??2sin????14??2……………………4分
解：
（Ⅰ）T?4? ……………………6分
（Ⅱ）由?2a?c?cosB?bcosC，利用三角形中的正弦定理知：2cosB?1 B?0?B??，∴3……………………9分 ∵f?A???A??2sin????124??，
?2??A?7?0?A????3，42412 ∵
?A???sin????1224??∴，……………………12分
22?f?A??∴
2?1……………………14分
18、（本小题共15分）
?某自来水公司准备修建一条饮水渠，其横截面为如图所示的等腰梯形，?ABC?120，按照
设计要求，其横截面面积为63平方米，为了使建造的水渠用料最省，横截面的周长（梯形的底BC与两腰长的和）必须最小，设水渠深h米． （Ⅰ）当h为多少米时，用料最省？
（Ⅱ）如果水渠的深度设计在[3, 23]的范围内，求横截面周长的最小值．
63?12(AD?BC)h,AD?BC?2?hcot60?BC??A
D
120° B
C 233h解：（Ⅰ）
63?12(2BC?2，
233h)h,使得BC?63h?33h
12
2h设外周长为 l，则l=2AB+BC=当3h?63h，即h?6sin60??63h?33h?3h?63h≥62，
时等号成立，外周长的最小值为62，此时堤高h为6米；（8分）
6h)，设3≤h1?h2≤23.（Ⅱ） 解
h2?3h?63h?3(h?
6h2?h1?6h1?(h2?h1)(1?6h1h2)?0，l是h的增函数，
所以
lmin?3?3?633?53（米），（当h=3时取得最小值）．……………（15分）
江苏省2011年高考数学模拟题
二、代数基本题
1、已知向量a=(cosx，sinx)，b=(-cosx，cosx)，c=(-1，0)。
π
(1)若x=，求向量a，c的夹角；
6 π9π
(2)当x∈[，]时，求函数f(x)=2a·b+1的最大值。
2 8 πa·c
解：(1)当x=时，cos=
6 |a|·|c| -cosx
= cos2x+sin2x ·(-1)2+02 =-cosx=-cos
π5π=cos。 6 6
5π
。 6
∵ 0≤≤π，∴=
(2) f(x)=2a·b+1=2(-cos2x+sinxcosx)+1 =2sinxcosx-(2cos2x-1)
π)。 4
π9ππ3π
∵ x∈[，]，∴2x-∈[，2π]，
2 8 4 4 =sin2x-cos2x=2 sin(2x-π2
故sin(2x-)∈[-1, ]，
4 2 π3ππ
∴当2x-=，即x=时，f(x)max=1。
4 4 2
2、已知⊿ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc，求：(1) 2sinBcosC-sin(B-C)的值；(2)若a=2，求⊿ABC周长的最大值。
解：(1)∵b2+c2=a2+bc，∴a2=b2+c2-bc，结合余弦定理知cosA=∴2sinBcosC-sin(B-C)= sinBcosC+cosBsinC =sin(B+C) =sinA=
3 。 2
1π，∴A=， 2 3
13
(2)由a=2，结合正弦定理，得 b+c=43 43 2π=sinB+sin(-B) 3 3 3
π
=23 sinB+2cosB=4sin(B+)，
6 可知周长的最大值为6。
43 43 sinB+sinC 3 3
2011年江苏省海安高级中学、南京外国语学校、南京市金陵中学
高三调研测试 数学（必试部分）
sin(???)?cos(???)?2.已知tan??2，则
sin(??)?cos(??)___ _____.
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤． 15.（本小题满分14分）
PA?5,PB?3,PC?1527如图，点B在以PA为直径的圆周上，点C在线段AB上，已知设?APB??,?APC??，?,?均为锐角. （1）求?； （2）求两条向量
15题图
江苏省安宜高级中学10-11年度高三B部数学复习资料期末综合练习（二）
????????AC,PC，
B C ????????的数量积AC?PC的值.
P A
9. 在平行四边形ABCD中，已知AB?2,AD?1,?DAB?60?，点M为AB的中点，点P在BC与CD上运动（包括端点），则AP?DM的取值范围是 ▲ ． 答案：[2，1]
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定位置内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A 15.（本小题满分14分）
如图，在△ABC中，已知AB?3，AC?6，BC?7，AD是
?BAC平分线.
?1B
D
C
14
（1）求证：DC?2BD；
????????（2）求AB?DC的值.
AB?BDsin?BAD15.（1）证明：在?ABD中，由正弦定理得sin?ADBAC①，
在?ACD中，由正弦定理得sin?ADC又AD平分?BAC，
?DCsin?CAD②， ?????????2分
所以?BAD??CAD，sin?BAD?sin?CAD，
sin?ADB?sin(???ADC)?sin?ADCBD?ABAC?36，
由①②得DC，所以DC?2BD.??????????????????6分
DC?232（2）解：因为
DC?2BDBC，所以
2.
2在△ABC中，因为
cosB?AB?BC?AC2AB?BC?3?7?62?3?7222?1121， ????10分
????????????2?????????2???AB?DC?AB?(BC)?|AB|?|BC|cos(??B)33所以 ?23?3?7?(?1121)??223.?????????????????????14分
江苏常州三中高三数学期末模拟试题
??1?10．已知平面向量?,?(??0,???)满足，且?与???的夹角为120°，则的取
(0,233)值范围是____________．
2，AD是BC边上的高，P为AD的中点，
13．等腰直角△ABC中，?A?90?，AB??????????1PM?PN??2点M、N分别为AB边和AC边上的点，且M、N关于直线AD对称，当
AM?时，MB ．3
15．（本题满分14分）（1）设0????,????2?，若对任意的x?R，都有关于x的等式
15