第2课时 指数函数及其性质的应用
基础达标
1．下列判断正确的是( )． A．2.52.5>2.53 C．π2<π2
B．0.82<0.83 D．0.90.3>0.90.5
解析 ∵y＝0.9x是减函数，且0.5>0.3，∴0.90.3>0.90.5 答案 D
2．若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域为R，则( )． A．f(x)与g(x)均为偶函数 B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数 C．f(x)与g(x)均为奇函数 D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数
解析 f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，f(x)为偶函数，g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)，g(x)的奇函数．答案 B
?1?1－x
3．函数y＝?2?的单调递增区间为( )．
??A．(－∞，＋∞) C．(1，＋∞)
B．(0，＋∞) D．(0,1)
1x?1?解析 y＝?2?1－x＝2·2，∴函数的单调增区间为(－∞，＋∞)．
??答案 A
4．已知指数函数f(x)＝ax，且f(3)
?1?3x－44－3x
＝?2?＝2，∴由23－2x<24－3x，得3－2x<4－3x，∴x<1. ??
答案 (－∞，1)
3
6．(2013·临沂高一检测)用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的4，要使存留污垢不超过原来的1%，则至少要漂洗________次．
1
解析 设原来污垢数为1个单位，则经过第一次漂洗，存留量为原来的4；经过第二次漂1?1?2?1?洗，存留量为原来漂洗后的4，也就是原来的?4?；经过第三次漂洗，存留量为原来的?4?????
3
?1?x?1?x?1?x1????，……，经过第x次漂洗，存留量为原来的4，故解析式为y＝4.由题意，?4?≤100，??????
4x≥100,2x≥10，∴x≥4，即至少漂洗4次． 答案 4
7．(2013·九江高一检测)已知函数f(x)＝1＋(1)求函数f(x)的定义域；
(2)证明函数f(x)在(－∞，0)上为减函数． 解 (1)f(x)＝1＋
2
，∵2x－1≠0，∴x≠0. 2－1
x2. 2－1
x∴函数f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠0}． (2)任意设x1，x2∈(－∞，0)且x1 2?2x2－2x1?21 －＝. 2x1－12x2－1?2x1－1??2x2－1? ∵x1，x2∈(－∞，0)且x1 能力提升 8．设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数K，定义函数fK(x)＝?f?x?，f?x?≤K，1－|x|?取函数f(x)＝2，当K＝2时，函数fK(x)的单调递增区间为( )． ?K，f?x?>K.A．(－∞，0) C．(－∞，－1) B．(0，＋∞) D．(1，＋∞) 解析 由f(x)＝2 －|x| ?1 及K＝，得fK(x)＝?1 2，－1 ?2 2－|x|，x≥1或x≤－1， ∴函数fK(x)的单调递增区 间是(－∞，－1)．答案 C 9．若函数f(x)＝ 2x2＋2ax－a－1的定义域为R，则实数a的取值范围是________． ≥0对x∈R恒成立， 解析 依题意， 即x2＋2ax－a≥0恒成立，∴Δ＝4a2＋4a≤0，－1≤a≤0.答案 [－1,0] 10．已知函数f(x)＝. (1)若a＝－1时，求函数f(x)的单调增区间； (2)如果函数f(x)有最大值3，求实数a的值． ?1?解 (1)当a＝－1时，f(x)＝?3?－x2－4x＋3， ??令g(x)＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7， 由于g(x)在(－2，＋∞)上递减， ?1?x y＝?3?在R上是减函数， ?? ∴f(x)在(－2，＋∞)上是增函数，即f(x)的单调增区间是(－2，＋∞)． ?1? (2)令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝?3?h(x)， ?? ?a>0，? 由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1；因此必有?12a－16 ＝－1，??4a即当f(x)有最大值3时，a的值为1. 解得a＝1， 周练(四) 指数函数 (时间：80分钟 满分：100分) 一、选择题(每小题5分，共40分) 1．下列函数是指数函数的是( )． A．y＝x2 C．y＝2x＋1 B．y＝2x D．y＝3＋2x 解析 指数函数具有y＝ax(a>0，且a≠1)，其中x是自变量，a为常数的形式，故B正确． 答案 B 2．若集合M＝{y|y＝2x，x∈R}，N＝{y|y＝x2，x∈R}，则集合M，N的关系为( )． B．M?N D．M＝N N. 解析 ∵y＝2x>0，y＝x2≥0，∴M＝{y|y>0}，N＝{y|y≥0}，∴M? 答案 A 3．若2x＋1<1，则x的取值范围是( )． A．(－1,1) C．(0,1)∪(1，＋∞) B．(－1，＋∞) D．(－∞，－1) 解析 ∵2x＋1<1＝20，且y＝2x是增函数，∴x＋1<0，∴x<－1.答案 D 4．函数f(x)＝ax与g(x)＝－x＋a的图象大致是( )． 解析 由g(x)＝－x＋a可排除图象C，D，若f(x)＝ax是增函数，则a>1，排除B. 答案 A 5．已知a＝30.2，b＝0.2－3，c＝(－3)0.2，则a，b，c的大小关系为( )． A．a>b>c C．c>a>b B．b>a>c D．b>c>a 解析 c<0，b＝53>3,1a>c答案 B 6．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域是( )． A．[9,81] B．[3,9] C．[1,9] D．[1，＋∞) 解析 ∵f(x)的图象过点(2,1)，∴b＝2，则f(x)＝3x－2. 当2≤x≤4时，0≤x－2≤2，所以1≤f(x)≤9答案 C 7．设f(x)＝a－|x|(a>0，且a≠1)，f(2)＝4.则( )． A．f(－2)>f(－1) C．f(1)>f(2) 1 解析 由a－2＝4，a>0，得a＝2， ?1?－|x||x| ∴f(x)＝?2?＝2，则f(－2)＝4>f(－1)＝2.答案 A ?? xax 8．(2013·德州高一检测)函数y＝|x|(0 B．f(－1)>f(－2) D．f(－2)>f(2) x x·ax?a，x>0， 解析 y＝|x|＝?且00时，函数是减函数；x<0时，是增函数．答x ?－a，x<0， 案 D 二、填空题(每小题5分，共20分) 39．计算：2×(2×3)6＋解析 原式＝2×(4×27)＋答案 210 10．(2013·大庆高一检测)函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a＝________.解析 由题设得a0＋a1＝3，∴a＝2.答案 2 11．设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a的值是________． 解析 由题设，对x∈R，g(x)＝ex＋ae－x是奇函数． ∴e－x＋aex＝－(ex＋ae－x)， 则1＋ae2x＝－(e2x＋a)，即(1＋e2x)(a＋1)＝0.∴a＝－1.答案 －1 12．已知函数f(x)＝a－x(a>0且a≠1)满足f(－2)>f(－3)，则函数g(x)＝a1－x2的单调增区间是________． 解析 ∵f(－2)>f(－3)，∴a2>a3，∴0 令t＝1－x2，则y＝at.∵y＝at是减函数，t＝1－x2的减区间是[0，＋∞)，∴g(x)＝a1－x2的增区间是[0，＋∞)．答案 [0，＋∞) 三、解答题(每小题10分，共40分) 13．已知3x≤解 由3x≤ ，求函数y＝，得3x≤3－2x＋6， 的值域． 4－2×80.25＋(－2 013)0＝________. ＋1＝216＋2－7－2＋1＝210. ∴x≤－2x＋6，x≤2.