44?4?c＝f?3?.∵0
??答案 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上) 13．函数f(x)＝
(x－1)＋2－x的定义域为________．
?x－1>0，
解析 由题意得?即1 ?2－x≥0，11 14．(2013·郑州高一检测)设2a＝5b＝m，且a＋b＝2，则m等于________． 11 解析 由2a＝5b＝m，得a＝log2m，b＝log5m，∴a＋b＝logm2＋logm5＝logm10. 11 ∵a＋b＝2，∴logm10＝2.∴m2＝10，即m＝10.答案 15．已知幂函数f(x)＝ 解析 f(x)＝ 10 ，若f(a＋1) 在(0，＋∞)上是减函数， ?a＋1>0， 又f(a＋1) ?a＋1>10－2a， ax＋b，x≤0，?? 16．函数f(x)＝?1 log?x＋?9?，x>0?c 解之得3 的图象如图所示，则a＋b＋c＝________. 1 解析 由图象可求得直线的方程为y＝2x＋2.又函数y＝logc(x＋9)的图象过点(0,2)，将其坐111313标代入可得c＝3，所以a＋b＋c＝2＋2＋3＝3.答案 3 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) lg 2＋lg 5－lg 82 17．(本小题满分10分)计算：(1)＋log2 2； lg 50－lg 407 (2)(29)0.5＋0.1－2＋ 37 －3π0＋48. 5lg4 lg?2×5?－lg 8－1 解 (1)原式＝＋log2(2) ＝5－1＝0. 5lg 4lg4 375937 －3＋48 ＝3＋100＋16－3＋48＝100. (2)原式＝ ?1?18．(本小题满分12分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时， f(x)＝?2?x. ?? (1)画出函数f(x)的图象； (2)根据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域． 解 (1)先作出当x≥0时， f(x)＝??1?x ?2??的图象，利用偶函数的图象关于 y轴对称，再作出f(x)，x∈(－∞，0)时的图象，如图． (2)函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0,1]． 19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝27 x－xα且f(4)＝－2. (1)求α的值； (2)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明． 解 (1)∵f(4)＝－727 2，∴4－4α＝－2，α＝1. (2)f(x)＝2 x－x在(0，＋∞)上是减函数． 证明如下： 设任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1 f(x?21)－f(x2)＝??x1－x1???－??2?x2－x2???＝(x2－x1)??2? ?x1x2＋1?? . ∵0 1 ＋1>0.∴f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)， 2 故f(x)＝x－x在(0，＋∞)上是减函数． 20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)． (1)若函数f(x)在[2,3]上的最大值与最小值的和为2，求a的值； (2)将函数f(x)图象上所有的点向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得函数图象不经过第二象限，求a的取值范围． 解 (1)因为函数f(x)＝logax在[2,3]上是单调函数， 所以loga3＋loga2＝2，所以a＝6. (2)依题意，所得函数g(x)＝loga(x＋2)－1，由g(x)的函数图象恒过(－1，－1)点，且不经过第二象限， ?a>1，?a>1，可得?即?解得a≥2，所以a的取值范围是[2，＋∞)． ?g?0?≤0，?loga2－1≤0，21．(本小题满分12分)(2013·广州高一检测)已知函数f(x)＝ax－1(a>0且a≠1)． (1)若函数y＝f(x)的图象经过点P(3,4)，求a的值； 1 (2)当a变化时，比较f(lg 100)与f(－2.1)的大小，并写出比较过程． 解 (1)∵f(x)的图象过点P(3,4)， ∴a3－1＝4，即a2＝4，又a>0，所以a＝2. 1 (2)当a>1时，f(lg100)>f(－2.1)； 1 当0 1 ∵f(lg100)＝f(－2)＝a－3，f(－2.1)＝a－3.1， 当a>1时，y＝ax在(－∞，＋∞)上为增函数， 1 ∵－3>－3.1，∴a－3>a－3.1，故f(lg100)>f(－2.1)． 当0 ∵－3>－3.1，∴a－3 1＋x 22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝loga(其中a＞0且a≠1)． 1－x (1)求函数f(x)的定义域； (2)判断函数f(x)的奇偶性并给出证明； 1?? (3)若x∈?0，2?时，函数f(x)的值域是[0,1]，求实数a的值． ??解 (1)由条件知 1＋x ＞0，解得－1＜x＜1， 1－x ∴函数f(x)的定义域为(－1,1)； (2)由(1)知函数f(x)的定义域关于原点对称． f(－x)＝loga 1－x1＋x?1＋x?－1x－12 ?＝＝loga?＋＝loga＝－f(x)， 1＋x1－x1－x1－x?1－x? 因此f(x)是奇函数． (3)f(x)＝loga 1＋xx－1＋2 ＝loga 1－x1－x 2?2??x－1?＋?＝loga?－1－x－1?， ＝loga? ???1－x1－x?记g(x)＝1－ 2 ， x－1 1?2?0，则g(x)＝－1－在?上单调递增， 2??x－1?1?? 因此当a＞1时，f(x)在?0，2?上单调递增， ???1? 由f?2?＝1，得a＝3； ?? 1?? 当0＜a＜1时，f(x)在?0，2?上单调递减， ??由f(0)＝1得出矛盾，a∈?；综上可知a＝3.