答案 －11
7．已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(其中0
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)的最小值为－4，求a的值． 解 (1)要使函数有意义，
?1－x>0，则有?解之得－3 ?x＋3>0，(2)函数可化为： f(x)＝loga(1－x)(x＋3)＝loga(－x2－2x＋3)＝loga[－(x＋1)2＋4]． ∵－3 8．已知y＝loga(2－ax)在[0,1]上为x的减函数，则a的取值范围为( )． A．(0,1) C．(0,2) B．(1,2) D．[2，＋∞) 解析 由题设，知a>0，则t＝2－ax在[0,1]上是减函数， 又y＝loga(2－ax)在[0,1]上是减函数，∴y＝logat是增函数，且tmin>0. ?a>1，因此?∴1 ?tmin＝2－a>0， 9．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上为增函数，f(2)＝0，则不等式f(log2x)>0 的解集为________． 解析 由题意得f(|log2x|)>f(2)，且f(x)在[0，＋∞)上为增函数，∴|log2x|>2，即log2x>2或1?1? log2x<－2.解得x>4或0 4??10．已知f(x)＝lg(ax－bx)(a>1>b>0)． (1)求f(x)的定义域； (2)当a，b满足什么关系时，f(x)在[1，＋∞)上恒取正值？ ?a? 解 (1)要使lg(ax－bx)有意义，需ax－bx>0，∴?b?x>1. ?? a 因为a>1>b>0，所以b>1，所以x>0，所以f(x)的定义域为(0，＋∞)． (2)f(x)在(0，＋∞)上是增函数， 所以若f(x)在[1，＋∞)上恒为正值，则只要f(1)>0，即lg(a－b)>0，a－b>1. 又因为a>1>b>0，故要使f(x)在[1，＋∞)上恒正，a，b满足的关系为a>b＋1>1. 2.3 幂函数 基础达标 1．下列幂函数中①y＝x－1；② 数的个数为( )． A．2 B．3 C．4 D．5 ；③y＝x；④y＝x2；⑤y＝x3，其中在定义域内为增函 解析 由幂函数性质知②③⑤在定义域内为增函数． 答案 B 2．已知m＝(a2＋3)－1，n＝3－1，则( )． A．m≥n C．m＝n B．m≤n D．m与n的大小不确定 解析 设f(x)＝x－1，∵a2＋3≥3>0，且f(x)＝x－1在(0，＋∞)上为减函数， ∴f(a2＋3)≤f(3)，即m≤n. 答案 B 3．(2013·鹤岗高一检测)幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，则 m可能等于( )． A．0 B．1 C．2 D．3 解析 f(x)在(0，＋∞)上是减函数， ∴3m－5<0(m∈N)，则m＝0或m＝1， 当m＝0时，f(x)＝x －5 是奇函数，不合题意． 当m＝1时，f(x)＝x－2是偶函数，因此m＝1. 答案 B 4．设 ??111 ??，则使－2，－1，－，，，1，2，3α∈232?? f(x)＝xα为奇函数且在(0，＋∞)内单调递 减的α的个数是________．答案 1 5．若(a＋1)3<(3a－2)3，则实数a的取值范围是________． 解析 ∵y＝x3是R上的增函数，且(a＋1)3<(3a－2)3， 3 ∴a＋1<3a－2，解得a>2.答案 6．给出下列四个说法： ①当n＝0时，y＝xn的图象是一个点； ②幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1)； ③幂函数的图象不可能出现在第四象限； ④幂函数y＝xn在第一象限为减函数，则n<0. 其中正确的说法的序号是________． 1 解析 显然①错误；②中如y＝x－2的图象不过点(0,0)．根据幂函数的图象可知③，④正确． 答案 ③④ 7．已知f(x)＝x2，g(x)＝x－1，当x为何值时，有： (1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x) 解 在同一坐标系中画出f(x)＝x2与g(x)＝x－1的图象，如图所示．由图象可知： (1)当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)； (2)当x＝1时，f(x)＝g(x)；(3)当x∈(0,1)时，f(x) 能力提升 1 8．在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－a的图象可能是( )． ?3??2，＋∞? ?? 11 解析 当a<0时，函数y＝ax－a是减函数，且在y轴上的截距－a>0，y＝xa在(0，＋∞)上是减函数，∴A，D均不正确． 1 对于B，C，若a>0则y＝ax－a是增函数，B错，C正确．答案 C 9．(2013·青岛质检)若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函 数g(x)＝(1－4m)x在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________. 1 解析 当a>1时，有a2＝4，a－1＝m，此时a＝2，m＝2，此时g(x)＝－x为减函数，不111 合题意．若0 (1)求f(x)的解析式； (2)若函数g(x)＝f(2－lg x)，求g(x)的定义域、值域． 1 解 (1)设f(x)＝xa，则由题意可知25a＝5，∴a＝2，∴f(x)＝ . (2)∵g(x)＝f(2－lg x)＝2－lg x，∴要使g(x)有意义，只需2－lg x≥0，即lg x≤2，解得 0 周练(五) 对数函数、幂函数 (时间：80分钟 满分：100分) 一、选择题(每小题5分，共40分) 1．(2013·郑州高一检测)下列函数中，与函数y＝ A．f(x)＝ln x C．f(x)＝x3 解析 y＝答案 B 2．下列各式错误的是( )． A．30.5>30.4 ?1??1?C.?2?3 B．log0.50.4>log0.50.3 D．log24.3 1 B．f(x)＝x D．f(x)＝ex 1 有相同定义域的是( )． x211的定义域是{x|x∈R，且x≠0}，f(x)＝ x的定义域为{x|x∈R，且x≠0}． x2解析 ∵y＝log0.5x在(0，＋∞)上是减函数，而0.4>0.3，∴log0.50.4 1?1?x 3．已知y＝?4?的反函数为y＝f(x)，若f(x0)＝－2，则x0＝( )． ?? A．－2 B．－1 C．2 1D.2 1x0＝－2， ?1?解析 ∵y＝f(x)是y＝?4?x的反函数，∴f(x)＝ ?? x，则f(x0)＝ ∴x0＝ ＝2.答案 C 4．计算log225·log322·log59的结果为( )． A．3 B．4 C．5 D．6 33 解析 原式＝log252·log322·log532＝2×2×2×log25·log32·log53＝6.答案 D 5．函数y＝ A．[1，＋∞) C．[0,1] 的定义域是( )． B．(0，＋∞) D．(0,1] (2x－1)≥0，∴0<2x－1≤1，即1<2x≤2， 解析 要使函数有意义，则 ∴函数的定义域为(0,1]．答案 D 6．已知a＝log23＋log23，b＝log29－log23，c＝log32，则a，b，c的大小关系 是( )． A．a＝b B．a＝b>c D．a>b>c 解析 由a＝log233，b＝log233，则a＝b>1.又c＝log32<1，∴a＝b>c. 答案 B 7．若点(a，b)在y＝lg x的图象上，a≠1，则下列点也在此图象上的是( )． ?1?A.?a，b? ?? B．(10a,1－b) D．(a2,2b) ?10?C.?a，b＋1? ?? 解析 ∵点(a，b)在函数y＝lg x的图象上，∴b＝lg a，则2b＝2lg a＝lg a2， 故点(a2,2b)也在函数y＝lg x的图象上． 答案 D